Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 1 из 11
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » С чего начинать учить тригонометрию? (Не могу понять все эти синусы и косинусы, давайте помогите!)
С чего начинать учить тригонометрию?
Артем Offline Администрация
09.06.2012, 12:47, Суббота | Сообщение 1
Ух! Тема для вас.
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
09.06.2012, 12:47, Суббота | Сообщение 2
С чего начать учить тригонометрию? Формулы учу, все равно не помогает. Я воооооооообще ничего не понимаю! От куда взялись это синусы и косинусы? Число равное ординате конца единичного радиуса...........И что? Единственное что я поняла, так это то, что эти все синусы связаны с градусами и углами. Подскажите, пожалуйста, какой-нибудь учебник, где будет подробно описано "для особо одаренных", что такое эти синусы и косинусы и т.д.
Артем Offline Администрация
09.06.2012, 12:47, Суббота | Сообщение 3
MalikaMalikusha87, ну вообще определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса очень простые.

Эти меры используют для измерения углов. Вообще я как помню из школьного курса, нам начали объяснять косинусы и синусы сначала на примере прямоугольного треугольника. Допустим у нас есть треугольник ABC.



Как видно из рисунка угол B прямой, тогда сторона AC гипотенуза. А стороны BA, BC катеты. Любой угол можно найти отношением двух сторон треугольника. Главное знать что для угла альфа, прилежащим катетом будет являться катет BA. А противолежащим соответственно катет CB.

Еще CA - называют наклонной, CB - перпендикуляром на плоскость, в которой лежит прямая BA. BA - называют тогда проекцией наклонной на плоскость!

Синусом угла α называется отношение BC/CA (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинусом угла α называется отношение BА/CA (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенсом угла α называется отношение BC/BA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенсом угла α называется отношение BA/BC (отношение прилежащего катета к противолежащему).

Итак, допустим мы имеет размеры сторон для нашего треугольника. Тогда мы с легкостью можем найти чему равен синус или косинус того или иного угла, главное понимать, что для каждого угла будет разными прилежащий и противолежащий катет.

То числовое значение что получено, это и есть наш наш угол, который мы сможем найти пот аблице значений, еще ее называют таблицами Брадиса.

Естественно, очень часто измерение углов с помощью транспортира не предоставляется возможным, для этого уже давно сделали такую таблицу, по значением синусов, косинусов, тангенсов или катангенсов, мы можем спокойно определить его градусную меру.

Как правило угол может быть прямым - 90 градусов (π/2), острым α<90 градусов или тупым 90<α<180.

Всего полный круг составляет 2π, то есть 360 градусов. Ну, а прямая это угол в 180 градусов (π).

А вот теперь почему именно 3,14, еще давно, когда не было техники люди интересовались всем и один ученный заметил что отношение длины окружности к диаметру одинаковое и чуть больше 3, отсюда вышли все эти формулы.

Ну я не вдавался в подробности, самое главное понять, что что углы могут измеряться как в радианах, так и в градусах.
Прикрепления: 0921501.png(4Kb)
Артем Offline Администрация
09.06.2012, 12:47, Суббота | Сообщение 4
Одно дополнение, не забывай что углы находятся отношением сторон только для прямоугольного треугольника. Для любых других существуют формулы синусов и косинусов.

Например, пусть имеется треугольник со сторонами, a, b и c. Тогда соответственно углы будут равны альфа (α), бетта (β) и гамма (γ).



Тогда можно записать отношение:

a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R (Теорема синусов)

R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

И еще есть теорема косинусов:

a2=b2+c2+2bc*cosα
Прикрепления: 9020448.png(4Kb)
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
09.06.2012, 13:52, Суббота | Сообщение 5
Таааааак, все, прочитала и многое даже поняла, но для полной картины мне нужен пример. Ты не мог бы написать какой-нибудь пример, опирающийся на вышеизложенную теорию?
ai_best_bek Offline Студенты
Сообщений (342) Репутация (250) Награды (1)
09.06.2012, 13:59, Суббота | Сообщение 6
могу вам дать маленький совет... как выучить градусы и радианы тригонометрии...
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
09.06.2012, 14:36, Суббота | Сообщение 7
Если изобразить тригонометрические функции на окружности и координатной плоскости, то sin - по оси у, а cos - по оси х. А где тогда на плоскости находятся ctg и tg?
Артем Offline Администрация
09.06.2012, 15:18, Суббота | Сообщение 8
MalikaMalikusha87, ну вот например. Дан равнобедренный треугольник, стороны которого равны 4, 4 и 6. Нужна найти косинус угла между равными сторонами.
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
09.06.2012, 17:15, Суббота | Сообщение 9
ai_best_bek , совет? Давайте! )))) А радианы я выучила по формуле а°π/180. А Вот значения синусов и т.д зазубриваю, а как можно их не зазубривать?А?

Добавлено (09.06.2012, 16:15)
---------------------------------------------
Артем, попыталась найти этот синус. А там не по теореме пифогора случайно? BH = √(AB[2]-AH[2])
Если нет, то расскажи, пожалуйста, как решить такую задачу.

Гость
09.06.2012, 17:39, Суббота | Сообщение 10
tga ctga mojno naiti po formule tga=sina/cosa ctga=cosa/sina toest' tg60=sin60/cos60
Aldi_styles Offline Друзья сайта
Сообщений (942) Репутация (733) Награды (7)
09.06.2012, 18:27, Суббота | Сообщение 11
Quote (MalikaMalikusha87)
Если нет, то расскажи, пожалуйста, как решить такую задачу.

есть такая формула чтобы найти косинус
a=6
b=4
c=4
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa
2*b*c*cosa=b^2+c^2-a^2
cosa=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)
cosa=(16+16-36)/(2*4*4)=-4/32=-1/8
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
10.06.2012, 09:30, Воскресенье | Сообщение 12
Aldi_styles , спасибо за разъяснение! А вы не могли бы еще объяснить, как была выведена эта формула a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosa. Я представляю равнобедренный треугольник и, соответственно, три угла в нем. а,b,c в формуле - это, наверное, его стороны? А почему они именно в квадрате? Если я буду хоть немного знать об истоках, так сказать, мне в дальнейшем будет легче запоминать.
Артем Offline Администрация
10.06.2012, 11:11, Воскресенье | Сообщение 13
MalikaMalikusha87, то есть тебе нужно доказательство этой теоремы?

Рассмотрим треугольник ABC.



Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.

Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, то величину стороны AD можно найти из соотношения тригонометрических функций :
AD / AC = cos α
AD = AC cos α
AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cosα

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
CD2 + BD2 = BC2
CD2 + AD2 = AC2
откуда
CD2 = BC2 - BD2
CD2 = AC2 - AD2

Поскольку левые части уравнений равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2

Подставим значения сторон (a,b,c)
a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2
a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Прикрепления: 8182530.jpg(5Kb)
Hondrus Offline Студенты
Сообщений (44) Репутация (3) Награды (0)
10.06.2012, 12:36, Воскресенье | Сообщение 14
Тригонометрия для меня тоже достаточно затруднительная штука. Имхо, тут просто нужно много опыта: решать, решать и еще раз решать.

Я, наверное, захожу далеко вперед от данной темы, которую вы обсуждаете, но все же!
Если для вас более важен результат задачи(сам факт решения), а не понятия самой природы тригонометрии, то я могу посоветовать следующее.

Некоторые задачи можно решать более легче, например(задачи писал от потолка):

Сократите: (cosα+sinα)/tgα
Или так: cos360+cos20+sin210 = ?
Чему равен cosα*tgα, если ctgα =2 ? и т.п.

Для этого я сделал себе(и не только) миниатюрную таблицу с градусами от 0 до 360 т синуса до котангенса и значение tg и ctg в особых случаях. Также такие задачи можно решать с инж. калькулятором.

Сами понимаете, что ничего понять ты не поймешь, но результат получишь. Хотя! На ЕНТ мне тригонометрия вообще не встретилась! 50% это уравнения и неравенства, 10-20% геометрия, остальное интегралы, логарифмы и производные.

Добавлено (10.06.2012, 11:36)
---------------------------------------------
Т.е. тут (cosα+sinα)/tgα мы просто подставляем одинаковые значения углов, смотрим чему равны эти углы. Решаем как обычную задачку 5го класса. Смотрим ответы, решаем таким же образом более подходящий для вас ответ(со временем уже начинаешь на глаз определять что подойдет, а что нет) и все.

cos360+cos20+sin210 тут подставляем значения углов, все. Смотрим в ответы, подгоняем наш. Если только цифры в ответе - вообще лепота, если синусы-херинусы - подгоняемю

cosα*tgα, если ctgα =2 тут тоже просто. Смотрим на каком углу ctg равен двум, подставляем сюда cosα*tgα и вуаля!

зы. Гогном не поливайте. Тригонометрию решать я умею, хоть и средненько. Все эти извороты сделаны только для скорости решения, что решает многое.

Прикрепления: 9466630.xls(38Kb)
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
10.06.2012, 14:26, Воскресенье | Сообщение 15
Артем! спасибо, таааккк вот откуда ноги растут!. Hondrus, спасибо большое за трюки))) Надо попробывать. Да, действительно на данном этапе мне нужно сделать что-нибудь такое, чтобы хоть как-нибудь освоить материал по физике, математике и истории за 11 классов в срок до 9 июля. Это из области фантастики, но мне кажется, если воспользоваться вашим способом, то можно набрать те самые 50 баллов. А про природу прорисхождения формулы я спросила, потому что на верняка мне на специальности, на которую я поступаю понадобится это знать. Фухххх, как же все тяжело.....

Добавлено (10.06.2012, 13:26)
---------------------------------------------
А вот посмотрите, пожалуйста,тут пример. Тут он по отсновному триг-му тож-ву решается, только, я что-то не пойму, откуда у них там что взялось. Свойство корней просмотрела, но ответа не нашла. Не мог ли бы вы мне подробно объяснить и расписать решение? Буду очень признательна.

MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
10.06.2012, 14:27, Воскресенье | Сообщение 16
Прикрепление
Прикрепления: 9479211.png(24Kb)
Артем Offline Администрация
10.06.2012, 16:11, Воскресенье | Сообщение 17
MalikaMalikusha87, такие задания решаются просто:

cosα=?
sinα=2√(3)/5

sin2α=4*3/25=12/25

cos2α+sin2α=1

cos2α=1-(12/25)=13/25

cosα=√(13)/5

Тут еще знак +, -, он взялся из-за того что мы не знаем после возведения в квадрат какое число было.
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
10.06.2012, 16:15, Воскресенье | Сообщение 18
.

Добавлено (10.06.2012, 15:13)
---------------------------------------------
Спасибо! А 4 откуда взялась? √(3) = 3[1/2], это понтяно, но до сих пор не пойму, как в дробные степени дробные числа возводят

Добавлено (10.06.2012, 15:15)
---------------------------------------------
Двойку возвели и получилось 4, а тройку почему не возводим? Что с ней происходит?

Артем Offline Администрация
10.06.2012, 16:16, Воскресенье | Сообщение 19
(2√(3)/5)2=22*√(3)2/52=4*3/25=12/25
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
10.06.2012, 16:33, Воскресенье | Сообщение 20
Оооо, понятно, только куда самый "длиный корень" делася ? ведь решаем по этой формуле?

Добавлено (10.06.2012, 15:33)
---------------------------------------------
Ой, поняла куда делся.

Прикрепления: 4519167.png(24Kb)
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
11.06.2012, 10:36, Понедельник | Сообщение 21
Всем привет! Подскажите, пожалуйста. где я не права. Вот в прикреплении.

Найдите cos , езсли sin = -2/5

Добавлено (11.06.2012, 09:36)
---------------------------------------------
А вот тут у меня еще вопрос (-2/5) : √(2)/5
Это нужно найти тангенс = синус делить на кос.

Прикрепления: 3760703.png(26Kb)
Артем Offline Администрация
11.06.2012, 16:09, Понедельник | Сообщение 22
MalikaMalikusha87, правильно решила!
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
12.06.2012, 14:05, Вторник | Сообщение 23
Правильно??!!!! Ухты, значит, я еще не безнадежна ))))
Артем Offline Администрация
12.06.2012, 14:12, Вторник | Сообщение 24
MalikaMalikusha87, нет конечно.

Слушай у меня где то были задания по темам, очень хорошо помогают при подготовке. Давай я постараюсь найти и скинуть тебе по агенту.
АбГВ Offline Друзья сайта
12.06.2012, 14:54, Вторник | Сообщение 25
Quote (Артем)
А Вот значения синусов и т.д зазубриваю, а как можно их не зазубривать?А?

Тригонометрия на ладошке!
Прикрепления: 7763090.jpg(90Kb)
Артем Offline Администрация
12.06.2012, 20:57, Вторник | Сообщение 26
АбГВ, интересный метод +50 в рейтинг за такое)))
MalikaMalikusha87 Offline Ученики
Сообщений (40) Репутация (6) Награды (0)
13.06.2012, 09:19, Среда | Сообщение 27
Артем, спасибо заранее! А когда мне можно будет "ловить" по агенту?АбГВ, интересно, что это за метод такой?
Эрика Offline Друзья сайта
12.01.2013, 11:00, Суббота | Сообщение 28
Про этот метод.. нам в школе так учительница тоже показывала...Я и сейчас так объясняю, а то школьники ленивые пошли ничего учить не хотят.
У нас так было. мы пронумеровывали все пальца от 0 до 4 одну ладошку это для синуса косинуса и и другую - тангенс-котангенс также нумеруем от 0до 4. Потом в общем в центре ладошки где синус-косинус формула √N/2 N-номер пальца. Ну там углы легко запомнить 0, 30, 45, 60, 90. можете даже написать углы на пальцах если не запоминаете. Для синуса 0 градусов с нулевого пальца начинается а для косинуса все наоборот. Например нужен вам косинус 60, ищете взглядом 60, это на пальчике 1. Значит корень из 1 делим на 2 получим 1/2. Теперь тангенс-котангенс. В центре ладошки формула √N/√N' где N-номер пальца, а N' - ему симметричный, ну большому-мизинец, указательному-безымянный, средний сам себе симметричен. и углы ставите точно также, для тангенса 0градусов - нулевой палец, 30 - 1й палец а для котангенса все наоборот - начинайте с четвертого. вот например хотите вы тангенс 30, значит ищем 30, это на первом пальце а ему симметричный 3палец. Значит дели √1/√3=1/√3. Если котангенс 45 то это средний палец 2й, он же себе симметричен значит делим √2/√2=1. Ну и тд. и помните на ноль делить нельзя там -- будет.
Гость
21.09.2013, 18:23, Суббота | Сообщение 29
помогите как найти тангенс угла 15 градусов двумя способами?
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » С чего начинать учить тригонометрию? (Не могу понять все эти синусы и косинусы, давайте помогите!)
Страница 1 из 11
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: