Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 1 из 212»
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Площадь фигуры, ограниченной линиями (Решение задач по математике на нахождение площадь фигур)
Площадь фигуры, ограниченной линиями
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 19:35, Четверг | Сообщение 1
Новая тема на форуме появилась. Теперь я постараюсь всем доступно объяснить эту тему. Дальше будем учиться находить объем фигуры, полученные вращением различных фигур. Ну об этом позже. Начнем с легкого как всегда, чтобы потом перейти к более сложному.
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 19:52, Четверг | Сообщение 2
Самое простое находить, площадь фигуры, которая образуется одной прямой и ограничена осями абсцисс и ординат.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y=3x-6 и осями абсцисс OX (y=0) и ординат OY (x=0)



Так выглядит график прямой, площадь которую нужно найти закрашена синим цветом.

Первое что делаем в таких задачах, это находим пересечение данной прямой с осями OX и OY:

Пересечение с OY:
3x-6=0
3x=6
x=2

Пересечение с OX:
y=-6

Теперь мы можем найти площадь этого треугольника:

S=|2|*|-6| / 2= 2*6/2 = 6

Так решаются самые простые задачи, в дальнейшем мы научимся применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения различных криволинейных фигур.
Прикрепления: 6810635.png(8Kb)
Артем Offline Администрация
15.02.2014, 18:56, Суббота | Сообщение 3
Теперь давайте научимся находить площадь фигуры, образованной двумя линиями.

Пример 2.

Определить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+3, y=2-x и осью абсцисс.



1 способ решения прост, найдем точку пересечения графика:

x+3=2-x
2x=-1
x=-0.5
y=-0.5+3=2.5

Координата y по модулю есть высота треугольника.

Найдем пересечение прямых с осью OX, для этого вместо y подставим 0 в каждое уравнение:

x+3=0
x=-3

2-x=0
x=2

Длина основания есть сумма координат x пересечения с плоскостью OX взятых по модулю:

|2|+|-3|=5

По формуле, зная высоту и основание треугольника найдем его площадь:

S=5*2.5 / 2 = 6,125

2 способ, нахождение по формуле Ньютона-Лейбница:

Сама формула выглядит следующим образом:



Читается она как, интеграл от a до b, a<b.

Для решения определенного интеграла, нужно сначала найти первообразную F(X) для функции f(x). А затем найти разность значений b и a подставленные в первообразную F(x).

Теперь вернемся к нашему примеру, для начала обратите внимание, что площадь нашей области можно вычислить суммой двух определенных интегралов:



Как вы заметили первым способом решать проще, однако не всегда можно применить его, ведь кроме прямых могут быть и кривые линии. Рассмотрим их в следующем примере.
Прикрепления: 9140589.png(7Kb) · 4638245.png(2Kb) · 7279603.png(8Kb)
Артем Offline Администрация
16.02.2014, 20:46, Воскресенье | Сообщение 4
Пример 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y= -x²+5x и осью абсцисс.



Давайте найдем пересечение нашей кривой с осью абсцисс:

5x-x²=0
x(5-x)=0
x₁=0, x₂=5

Составим определенный интеграл:



Найдем первообразную:

F(X)=(5x²/2)-(x³/3)

Подставим сначала верхнее значение, затем нижнее и найдем разность:

F(5) - F(0) = (125/2) - (125/3) - 0 = (375-250)/6 = 125/6 или 20*(5/6)
Прикрепления: 6859529.png(7Kb) · 0048902.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
16.02.2014, 21:02, Воскресенье | Сообщение 5
Пример 4.

Найдите площадь фигуры, заключенной между линиями y=0, y=1/(1+x), x=0, x=3.



Конечно в обычных условиях, построить правильно график будет сложно, для этого мы и занимались исследованием функций.

Что можно сказать о функции y=1/(1+x), ну во первых что графиком такой функции является гипербола. Во вторых что x стремится к -1, а y к нулю, но они никогда не достигнут этих значений.

Давайте составим определенный интеграл, так как нам заданы интервалы в условии задачи, просто подставим их:



Теперь найдем первообразную:

F(X)=ln|x+1| {+C не пишу, чтобы не путать людей}

Подставляем значения интервалов и найдем их разность:

F(3) - F(0) = ln4 - ln1 = ln4 - 0 = ln4

Ответом будет S=ln4
Прикрепления: 3213815.png(7Kb) · 9422376.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
16.02.2014, 21:14, Воскресенье | Сообщение 6
Пример 5.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=7/x, x=1, x=e³, y=0



Как вы видите, снова гипербола. Пусть у вас не вызывает сомнений число e³, так как это такое же число как и все остальные.

Тут просто надо вспомнить, что число e приблизительно равно 2.7 , это значит что e³>1, значит является верхним интервалом интеграла:



Первообразная от функции y=7/x равна:

F(X)=7ln|x|

Тогда подставляя значения интервалов, найдем площадь фигуры:

F(e³) - F(1) = 7 (lne³ - ln1) = 7 (3 - 0) = 21

Объясняю lne³ это тоже самое что и логарифм по основанию e: logee³ = 3

Тогда площадь фигуры равна 21
Прикрепления: 1011403.png(2Kb) · 8069756.png(10Kb)
Артем Offline Администрация
19.02.2014, 19:49, Среда | Сообщение 7
Пример 6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой y=1,5

Не стоит паниковать, если уведите такое заданий. Ведь всего лишь навсего нужно решить определенный интеграл, для того чтобы найти саму функцию y(x)

Первообразная равна F(t) = t² / 2

Решением определенного интеграла будет:

F(x²+1) - F(x²) = [(x⁴+2x²+1)/2] - [x⁴/2] = x² + (1/2)



Графиком функции y=x² + (1/2) будет являться парабола.

Найдем пересечение с прямой y=3/2

x² + (1/2) = 3/2
x²=1
x₁=-1
x₂=1

Составим определенный интеграл, решением которого будет площадь фигуры:



Первообразная от функции y(x) равна:

F(x)=(x³/3)+(x²/2)

Найдем значение интеграла, подставляя верхнее, а затем нижнее значения:

F(1) - F(-1) = (1/3)+(1/2) - [-(1/3)-(1/2)] = (2/3) + 1 = 5/3

Ответ будет равен: 5/3
Прикрепления: 6648425.png(1Kb) · 5106454.png(6Kb) · 4616268.png(3Kb)
Артем Offline Администрация
20.02.2014, 18:45, Четверг | Сообщение 8
Пример 7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²-x, y=x-x²



Найдем пересечение графиков:

x²-x=x-x²
2x²=2x
x²-x=0
x(x-1)=0
x₁=0
x₂=1

Составим определенный интеграл, для этого от того графика, что проходит выше, отнимем график, что проходит ниже, тогда ответ получится не отрицательный, если вдруг вы ошиблись и сделали наоборот, берите ответ по модулю:



Найдем первообразную:

F(x)=x²-(2x³/3)

Найдем площадь по формуле Ньютона-Лейбница:

F(1) - F(0) = 1 - (2/3) - 0= 1/3

Ответ: 1/3
Прикрепления: 4665743.png(9Kb) · 0386508.png(3Kb)
Гость
14.04.2014, 16:44, Понедельник | Сообщение 9
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x+2, y=x, x=2x-1
Гость
04.05.2014, 23:23, Воскресенье | Сообщение 10
Артем, y=ln(1-x^2),0≤x≤1/2
Артем Offline Администрация
05.05.2014, 14:35, Понедельник | Сообщение 11
Цитата Гость ()
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x+2, y=x, y=2x-1


Прежде чем начинать составлять определенный интеграл посмотрим какие линии у нас на графике:

y=x²-2x+2 - парабола вида y=ax²+bx+c, ветви направлены вверх, вершина лежит в точке с координатой х=-b/2а, x=2/2=1, y=1. A(1,1)

y=x и y=2x-1, пересекаются в точке A(1,1)


(на рисунке искомая площадь выделена, указаны точки пересечения графиков)

Для нахождения данной площади нужно из площади фигуры 1, отнять площадь фигуры 2 и площадь фигуры 3, площадь фигуры 3 получим из разности площади фигуры 4 и 5.



На рисунке показаны определенные интегралы для вычисления, для каждого находим первообразную и подставляем точки сначала верхние затем от них отнимаем нижние.

1) y=2x-1; F(y)=x²+x; F(3)-F(1)=12-2=10
2) y=x²-2x+2; F(y)=(x³/3)-x²+2x; F(3)-F(1)=(9-9+6)-((1/3)-1+2)=6-1-(1/3)=(14/3)

4) y=x; F(y)=x²/2; F(2)-F(1)=2-(1/2)=3/2
5) y=x²-2x+2; F(y)=(x³/3)-x²+2x; F(2)-F(1)=((8/3)-4+4) - ((1/3)-1+2) = (8/3) - (4/3) = (4/3)

3) (3/2) - (4/3) = (9-8)/6 = 1/6

Площадь фигуры выделенной на первом рисунке равна:

10 - (14/3) - (1/6)= (60-28-1)/6=31/6

это 5 целых 1/6
Прикрепления: 8708815.png(13Kb) · 5721997.png(50Kb)
Артем Offline Администрация
05.05.2014, 14:37, Понедельник | Сообщение 12
Цитата Гость ()
Артем, y=ln(1-x^2),0≤x≤1/2


А что в задании написано?
Гость
17.05.2014, 12:54, Суббота | Сообщение 13
y=x²+6x-3; y=5x+3
Найти площадь фигуры, ограниченой заданными линиями
Гость
02.06.2014, 20:52, Понедельник | Сообщение 14
найдите S- площадь фигуры, ограниченная линиями у=7х^2 и у=1+2х-х^2
Гость
11.06.2014, 23:59, Среда | Сообщение 15
y=2x и y=x во 2 степени
Гость
06.08.2014, 11:50, Среда | Сообщение 16
вычислить площадь фигуры ,ограниченной линиями:y=x³, y=8,x=0
Гость
06.08.2014, 11:51, Среда | Сообщение 17
вычислить площадь фигуры ,ограниченной линиями:y=x³, y=8,x=0
Гость
18.11.2014, 16:50, Вторник | Сообщение 18
найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 осью ординат и прямой y=9"
Гость
30.11.2014, 23:23, Воскресенье | Сообщение 19
γ=2х²+5х+2
γ=0 х=⁻1 х=4
Гость
30.11.2014, 23:26, Воскресенье | Сообщение 20
Вычислить площадь и объём фигуры ограниченной линиями
γ=2х²+5х+2
γ=0 х=⁻1 х=4
Гость
13.12.2014, 10:12, Суббота | Сообщение 21
вычислить площадь фигуры
y=-x+3
у=2
Мария
20.12.2014, 10:01, Суббота | Сообщение 22
решить задачу :вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:Y=x^2+2x+3 . Y=0. x=1. x=-2
Гость
25.12.2014, 18:46, Четверг | Сообщение 23
Найти площадь фигуры ограниченной фигуры функциями у=х^2+х-1 у=0 х=0 х=4
nazikosh_1997 Offline Студенты
27.12.2014, 22:14, Суббота | Сообщение 24
y=x^2+x-1 y=0 x=0 x=4

4 4 4
∫⁽x^2+x-1)dx∫ x^3/3 +x^2/2 - x I = (64/3+16/2-4)-0=76/3
0 0 0
Гость
20.02.2015, 12:23, Пятница | Сообщение 25
у=1/3х^3, у=3х
Гость
22.02.2015, 16:19, Воскресенье | Сообщение 26
найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2-4х+4, у=0 и х=0
Артем Offline Администрация
22.02.2015, 21:49, Воскресенье | Сообщение 27
Цитата Гость ()
у=1/3х^3, у=3х


Для решения таких задач, очень важно уметь исследовать функцию и быстро строить графики, хотя бы схематично.

Начнем с первой функции у=(1/3)*x3

Наличие третьей степени говорит о том, что графиком функции является кубическая парабола и представляет собой винтообразную кривую, проходящую через начало координат из первой четверти в третью.

Так, как при x=0, y=0 график проходит через центр координат.

На рисунке это выглядит так:



Теперь вторая функция у=3х, тоже проходит через начало координат и является прямой.

Сопоставим на графике обе функции, чтобы увидеть искомую площадь:



Как мы видим, получилось две симметричные фигуры, одна в первой, другая в третьей четвертях.

Для нахождения полной площади достаточно найти одну из них и умножить на два.

Найдем пересечение графиков функции, для этого достаточно приравнять обе функции (1/3)*x3=3x:

Точка 1 (0;0), точка 2 (3;9)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле



Для нашего случая, примет вид:



Осталось найти первообразную:



Затем применить формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла:

S = F(b) - F(a) = F(3) - F(0)

F(3)=81/12 = 27/4

F(0) = 0

Тогда площадь от 0 до 3 на графике равна 27/4

Полная площадь фигуры, ограниченной линиями равна 27/2
Прикрепления: 6576348.png(30Kb) · 7607773.png(18Kb) · 1003389.png(1Kb) · 2917950.png(2Kb) · 4560088.png(2Kb)
Артем Offline Администрация
22.02.2015, 22:00, Воскресенье | Сообщение 28
Цитата Гость ()
найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2-4х+4, у=0 и х=0


Функция у=х^2-4х+4 на графике является параболой, если вершина имеет координаты (m;n)

m=-b/2a

ax^2+bx+c=0

b=-4, a=1

m=4/2=2

n=4-8+4=0

Тогда вершина в точке (2;0), ветви направленны вверх, на рисунке это выглядит так:



Остается составить определенный интеграл от 0 до 2



Затем решить его, применив формулу Ньютона-Лейбница:



F(2) = (8/3) - 2*4 +4*2 = (8/3)

F(0) = 0

S=8/3
Прикрепления: 1486204.png(21Kb) · 3670722.gif(1Kb) · 9747599.png(2Kb)
Гость
17.04.2015, 16:47, Пятница | Сообщение 29
x=1, y=x^(1/3), y=-x^3 найти площадь фигуры
Mikoladka Offline Ученики
04.05.2015, 15:30, Понедельник | Сообщение 30
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=-0,5x^2+x+1,5 ,y=0,5х+0,5.
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Площадь фигуры, ограниченной линиями (Решение задач по математике на нахождение площадь фигур)
Страница 1 из 212»
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: