Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 1 из 11
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Решение систем тригонометрических неравенств (Все формулы для решения тригонометрических систем уравений)
Решение систем тригонометрических неравенств
ОЛЕСЯ
31.10.2011, 19:58, Понедельник | Сообщение 1
sinx≥½
cosx<0

tgx≤1
sinx<½
Артем Offline Администрация
31.10.2011, 20:18, Понедельник | Сообщение 2
Итак начнем. Для того чтобы научиться решать системы тригонометрических уравнений, нужно иметь представление о решении обычных тригонометрических неравенств.

sinx>a (|a|<1)
x∈(arcsin(a)+2Rπ; π-arcsin(a)+2Rπ)

sinx<a (|a|<1)
x∈(-π-arcsin(a)+2Rπ; arcsin(a)+2Rπ)

cosx>a (|a|<1)
x∈(-arccos(a)+2Rπ; arccos(a)+2Rπ)

cosx<a (|a|<1)
x∈(arccos(a)+2Rπ; 2π-arccos(a)+2Rπ)

tgx>a
x∈(arctg(a)+Rπ; (π/2)+Rπ)

tgx<a
x∈((-π/2)+Rπ; arctg(a)+Rπ)

ctgx>a
x∈(Rπ; arcctg(a)+Rπ)

ctgx<a
x∈(arcctg(a)+Rπ; π+Rπ)

Теперь как же решаются системы неравенств.

Дело в том что функция имеет свой график, например косинусоида имеет такой рисунок:



Как видно из графика функция косинуса принимает значения от 1 до -1 в зависимости от угла. Синусоида же имеет другой график, я специально наложил график синусоиды и косинусоиды, чтобы было видно разницу:



Все это является основами решения, но для того чтобы научиться решать системы тригонометрических неравенств нужно знать простейшие понятия единичной окружности и знаках по четвертям!

Что такое единичная окружность?



Из этого рисунка становится понятным какой нужно начертить угол в дальнейшем. Чтобы правильно это сделать нужно знать основные свойства тригонометрических функций:

sin(-x)=-sinx
cos(-x)=cosx
tg(-x)=-tgx
ctg(-x)=-ctgx

Это основные. А вот дополнительно к ним. Секрет успеха.

sin(x+2kπ)=sinx
cos(x+2kπ)=cosx
tg(x+Rπ)=tgx
ctg(x+Rπ)=ctgx

Теперь поговорим о там как это получилось так, внимательно обрати внимание на знаки тригонометрических функций по четвертям.



Вообще логическое объяснение в этом. Когда функция отрицательна, если она находится в четверти с отрицательным значением, она будет меняться на противоположную. Это все описано в основных правилах (см. выше).



А теперь что меняется? Для примера возьму функцию тангенса tgπ+Rπ



По единичной окружности мы смело можем определить в какую сторону чертить угол заданный неравенством. Все это делается учитывая четверти. Каждая четверть составляет π/2 или 90 градусов, это как оси x и y.

Далее перейдем к практике.
Прикрепления: 9725578.gif(4Kb) · 8990888.png(20Kb) · 2196536.jpg(44Kb) · 1036235.gif(20Kb) · 4473824.png(5Kb) · 4486612.jpg(39Kb)
Артем Offline Администрация
31.10.2011, 20:48, Понедельник | Сообщение 3
Теперь начнем рассмотрения примеров, это было общая информация для того чтобы немного иметь представление о решении таких заданий.

sinx≥½
cosx<0

Итак теперь алгоритм решения:
1) Решим первое неравенство:
sinx≥½
x∈[arcsin(a)+2Rπ; π-arcsin(a)+2Rπ] - скобки круглые заменил на квадратные потому что сама точка включается в интервал.

x∈[arcsin(½)+2Rπ; π-arcsin(½)+2Rπ]

Используя такую табличку найдем значения.



x∈[π/6+2Rπ; 5π/6+2Rπ]

2) Теперь на единичной окружности нужно указать этот интервал, как это сделать?
Вся окружность представляет собой 360 градусов, разобьем окружность на четверти и около каждой укажем сколько градусов.



Итак я указал по четвертям, а также отметил точку π/6 и 5π/6, что собственно равно 30 и 150 градусов. Значит дуга окружности от 30 градусов до 150 градусов будет решением первого неравенства и спешу заметить мы включаем этот промежуток в квадратные скобки, а значит он тоже входит в указанный промежуток.

3) Решаем второе уравнение.
cosx<0

x∈(arccos(a)+2Rπ; 2π-arccos(a)+2Rπ)
x∈(π/2+2Rπ;3π/2+2Rπ)
Заметь знак не включает в себя саму точку, поэтому оформляется в круглых скобках.

4) На единичной окружности отметить промежуток от π/2 до 3π/2.



Как видишь этот промежуток я заштриховал красной линией, чтобы не было путаницы сразу скажу что

5) Закрасить область, которая объединяет два промежутка.



6) Указать промежуток, который является решением.

X∈(π/2+2Rπ; 5π/6+2Rπ] (*квадратная скобка закрывает, потому что точка включена, круглае же скобка показывает что все значения кроме нее либо больше либо меньше)

2Rπ дает один круг, где R - неотрицательное число.
π - увеличивает на 180 градусов и рисует снова. Это потребуется для дальнейшей задачи!
Прикрепления: 4052475.jpg(71Kb) · 4755376.jpg(25Kb) · 7915704.jpg(35Kb) · 8445372.jpg(36Kb)
Артем Offline Администрация
31.10.2011, 21:11, Понедельник | Сообщение 4
Quote (ОЛЕСЯ)
tgx≤1
sinx<½


1) Решаем неравенство

tgx≤1
x∈[(-π/2)+Rπ; arctg(a)+Rπ]

Из значений по таблице берем:

x∈[(-π/2)+Rπ; arctg(1)+Rπ]
x∈[(-π/2)+Rπ; π/4+Rπ]

В прошлом примере я объяснил что такое 2Rπ. Итак 2Rπ сообщает нам о том что функция повторится через период 2Rπ, то есть при обходе на 360 градусов все вернется снова. Смотрите на рисунок синусоиды, тут будет понятнее. Функция повторяется через каждые 2π периоды. А тангенсоида ведет себя по другому, смотри на рисуночек:



В этом рисунке мы ищем точку (-π/2) и смотрим как она себя ведет если увеличивать период π тот что по оси x. На y показаны значения угловые в градусах. Для простоты привыкли период π считать за 180 градусов. Посмотри на график

2) Отмечаем на окружности

А это значит что функция тангенса будет повторяться через период π, а это значит что на единичной окружности промежуток x∈[(-π/2)+Rπ; π/4+Rπ] будет выглядеть как:



Так как функция тангенса повторяется на каждом промежутке π, то нам просто необходимо было сделать именно так. Для этого я просто tg(-π/2)=-tg(π/2) это по формуле приведения, смотри на знаки тригонометрических функций по четвертям.

Отметили точку π/2 и π/4, прибавили к ним по π и получили 3π/2 и 5π/4.

Вот и получается что два промежутка на окружности вышло!!!

3) Решаем неравенство 2.

sinx<½
x∈(-π-arcsin(a)+2Rπ; arcsin(a)+2Rπ)
x∈(-π-arcsin(½)+2Rπ; arcsin(½)+2Rπ)
x∈(-π-π/6+2Rπ; π/6+2Rπ)
x∈(-7π/6+2Rπ; π/6+2Rπ)

Также отмечаем на окружности.



Соединив получим промежуток X∈(-7π/6; 5π/4] u [-π/2; π/6)
Прикрепления: 2692313.gif(3Kb) · 9228298.jpg(38Kb) · 7449077.jpg(65Kb)
Гость
27.05.2012, 14:24, Воскресенье | Сообщение 5
Помогите решить систему пожалуйста
sin x >1/5
cosx <1/5
Aldi_styles Offline Друзья сайта
Сообщений (942) Репутация (733) Награды (7)
29.05.2012, 21:14, Вторник | Сообщение 6
Quote (Гость)
Помогите решить систему пожалуйста sin x >1/5 cosx <1/5

arccos1/5+2πn<x<π-arcsin1/5+2πn,n∈Z
Abilay
05.12.2012, 22:08, Среда | Сообщение 7
tgx≥-1
Гость
14.01.2013, 14:30, Понедельник | Сообщение 8
решить систему
sinx≥0
tgx>1
Гость
23.02.2013, 16:44, Суббота | Сообщение 9
Упростить выражение:S
in²2α+cos²2α+ctg²5α
Гость
07.04.2013, 13:19, Воскресенье | Сообщение 10
Артем спаπсибо Вам за подробное решение задачи, за то что Вы тратите ваше драгоценное время на элементарные вещи, и пытаетесь быть полезным. Все так просто и понятно, еще раз спс, единственное в математическπой записи было бы строже если бы написано было не 5п/4, а -3п/4 от меньшего к большему, если не прав буду благодарен если поправите.
Гость
11.07.2013, 15:59, Четверг | Сообщение 11
Артем, у тебя грубейшая ошибка в решении второй системы.
Тангенс в точках π/2 и -π/2 НЕ ОПРЕДЕЛЕН, и поэтому промежуток x просто не может включать в себя эти точки. Исправь, пожалуйста, ответ и не путай людей - им ещё ЕГЭ сдавать.
А так - мило и красиво. Спасибо за внимание.
Артем Offline Администрация
11.07.2013, 23:57, Четверг | Сообщение 12
Гость, можно подробнее?
Vershina Offline Студенты
Сообщений (629) Репутация (679) Награды (2)
13.07.2013, 14:43, Суббота | Сообщение 13
здравствуйте, не могли бы помочь: Численные значения объема шара и площади поверхности шара равны. Найдите радиус шара.
варианты ответов: 5; 4; 3,5; 3, 6 см
Ответ будет 3
V=4PR³/3
S=4PR²
4PR³/3=4PR²
R=3
Гость
03.09.2013, 23:07, Вторник | Сообщение 14
помогите решить систему неравенств sin х>0.3 cosх<0.3
Агния
19.01.2014, 21:24, Воскресенье | Сообщение 15
1)решите систему неравенств
sinx<0;
sinx >-sqrt3/2.
2)
cosx>-sqrt2/2;
sinx<sqrt3/2.
Гость
20.01.2014, 19:26, Понедельник | Сообщение 16
sinx=a, /a/≤1
Гость
04.02.2014, 21:06, Вторник | Сообщение 17
Пожалуйста помогите решить неравенство: sinx≥-5
Артем Offline Администрация
04.02.2014, 22:13, Вторник | Сообщение 18
Цитата Гость ()
sinx≥-5


-1≤ sinx ≤1

x∈(-∞;+∞)
Гость
04.02.2014, 22:13, Вторник | Сообщение 19
2sinx≥ √3
tgx≤ 0
daniyar96 Offline Ученики
13.04.2014, 20:43, Воскресенье | Сообщение 20
2sinx≤-√3
tgx≤ 0
Помогите пожалуйста решить систему, смущает минус и из-за него видимо не выходит
Эрика Offline Друзья сайта
09.05.2014, 17:33, Пятница | Сообщение 21
daniyar96, решение)
Прикрепления: 1620088.jpg(85Kb)
Гость
20.11.2014, 18:35, Четверг | Сообщение 22
помогите пожалуйста решить неравенство-ctg x ≥ -√3
Гость
09.12.2014, 20:41, Вторник | Сообщение 23
мне нужен график синусоиды...пожалуйста.
Анжелика
05.02.2015, 22:26, Четверг | Сообщение 24
{Sinx >0,3
{Cosx <0,3

Если что это одна система))))
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Решение систем тригонометрических неравенств (Все формулы для решения тригонометрических систем уравений)
Страница 1 из 11
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: