Menu
Шпаргалка по математике на все экзамены
Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Арифметическая прогрессия
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
an = a1 + d(n – 1) an = ak + d(n – k)
2an = an-1 + an+1 an + am = ak + al, если n + m = k + l

Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1  0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1 bn = bk qn – k
bn2 = bn-1 bn+1 bn bm = bk bl, если n + m = k + l

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Степень
Определение
, если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени

Формулы


Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.


Квадратное уравнение:
ax2 + bx + c = 0

Дискриминант: D = b2 – 4ac

Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0
x1 + x2 = - p
x1  x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .
a - основание логарифма (a > 0, a  1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм: где e = 2,71828
Формулы


Дроби
Сложение
Деление с остатком:
Признак Пример
На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6
На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……12
На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..104
На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3. 570612
На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9. 359451
На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. …….5
На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……75
На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0

Вычитание

Умножение

Деление

Составная дробь
Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ; 0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи: 3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
Модуль
Формулы Определение
• x  0
• x - y  x - y
• -x=x
• x  y = x  y
• x  x
• x : y =x : y
• x + y  x + y
x2 = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a  b), a > b (a  b)

Основные свойства:




Модуль: уравнения и неравенства
1.
2.
3.
4.
5.
Периодическая дробь
Правило:
Признаки делимости чисел:
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
B - 100%
A - x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A = 90%A
3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
 Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

 Ответ: уменьшится на 20%


 Ответ: уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
Среднее геометрическое:
Уравнение движения
Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.
Тогда: ,
где – скорость, - ускорение.
Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций
№ f(x) F(x) № f(x) F(x)
1

6

2


7

3


4 8

5 9

Правила вычисления первообразной функции
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если .
Функция Первообразная



Правила вычисления производной функции


Сложная функция:

Производные элементарных функций
№ Функция Производная № Функция Производная
1

6

2 7

3
8

4

5 9
Равносильные уравнения:
Исходное уравнение Равносильное уравнение (система)




Числовые множества:
Натуральные числа N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа Z = N  { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа Q = Z 

Действительные числа R = Q 

Тригонометрия
Основные триг. формулы





Формулы суммы функций



Формулы суммы аргументов:



Формулы произведения функций



Формулы половинного аргумента

Формулы двойного аргумента



Формула дополнительного угла
где

Определение тригонометрических функций

Универсальная подстановка

Свойства тригонометрических функций
Функция Свойства
Область определения Множество значений Четность-нечетность Период
cosx cos(-x)= cosx 
sinx
sin(-x)= -sinx 
tgx
tg(-x)= -tgx 
ctgx ctg(-x)= -ctgx 

Тригонометрические уравнения
Косинус:



Уравнения с синусом
Частные формулы:

Общая формула:

Уравнения с тангенсом и котангенсом

Формулы обратных триг функций

Если 0 < x  1, то
arccos(-x) =  - arccosx
arcsin(-x) = - arcsinx Если x > 0 , то
arctg(-x) = - arctgx
arcctg(-x) =  - arcctgx
Обратные триг функции
Функция Свойства
Область определения Множество значений
arccosx
[0; ]
arcsinx
[-/2; /2]

arctgx
(-/2; /2)
arcctgx
(0; )

Геометрия
Теорема косинусов, синусов
Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника


Средняя линия
Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух с сторон треугольника.
Средняя линия параллельна т третьей стороне и равна е её половине:
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
 Все углы равны 600.
 Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
 Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
 Радиусы окружностей:
Площадь
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является б биссектрисой и медиан

Прямоугольный треугольник

 Теорема Пифагора: Площадь:
 Тригонометрические соотношения:
 Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
 Радиусы окружностей:
 Высота, опущенная на гипотенузу:
 Катеты:
Основные соотношения в треугольнике
 Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
 Сумма углов: 
 Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
 Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Биссектриса

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.
• Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
• Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

Конус


Sбок.= R(R+L)

Усеченный конус


Вписанная окружность

• Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
• Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:
a + b = c + d
Описанная окружность
Касательная, секущая


• Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
• Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
• Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
• Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:
Длина окружности, площадь

Хорда

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
• В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
• Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:


Шар


Шаровой сектор

Шаровой сегмент

Центральный, вписанный угол
Сектор

Касательная, секущая

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.



Призма

прямая
призма
Цилиндр



Медиана

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
• Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

Правильная пирамида
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании и правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания.
М Все боковые рёбра равны между м м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники.

Усеченная пирамида


Скалярное произведение

Сумма, разность векторов

Углы на плоскости

Перпендикулярность, коллинеарность

Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:

Координаты вектора
Координаты вектора:

Длина вектора:

Умножение вектора на число:
Свойства прямых и плоскостей

(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
– расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
 – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:
Функция Значения
 00 
 300 
 450 
 600 
 900
cosx 1


0
sinx 0


1
tgx 0
1
-
ctgx -
1
0

Выпуклый четырёхугольник

Произвольный выпуклый четырёхугольник:
Сумма всех углов равна 3600.
Площадь:
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
Сторона правильного n–угольника:
Площадь правильного n–угольника:

Произвольный выпуклый многоугольник

Произвольный выпуклый многоугольник:
Сумма всех углов равна
Число диагоналей:
Трапеция

Трапеция:
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна: Площадь:
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Диагональ квадрата Площадь:

Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.
Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов.
Площадь:
Параллелограмм
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом.
Середина диагонали является центром симметрии.
Противоположные стороны и углы равны.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
Площадь:

Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2=a2+b2+c2

22.09.2010 13:05 Математика Артем 7278 22061 3
one republik   12.08.2011 23:56
thank you very much
Александр   06.05.2011 20:51
Первый комментарий сказал о многом, эта "шпаргалка" не должна здесь находиться, пожалуйста удалите её! angry angry
ОМАЮВИЕРМЕСММ   23.10.2010 22:23
Здравсвуйте уважемвый тестент мы хотели бы поблаголарить вса за такукю работу пролеланнуую хоршоао получилось
Имя *:
Email: