Menu
Непрерывные случайные величины
В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

F(x)=P(X<x)

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0;1]: 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x2)F(x1), если x2>x1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX<b)=F(b)-F(a) (7)

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0<x<2)=F(2)-F(0)

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0<x<2)=1/2

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:


Рисунок-1

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

X 1 4 8
P 0.3 0.1 0.6

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:


Рисунок-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F'(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

(8)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;b], называют определенный интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модой M0(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

P{Xe(X)}=P{X>Me(X)}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то:

D(x)=[x-M(x)]2f(x)dx (11)
или
D(x)=x2f(x)dx-[M(x)]2 (11*)

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то:


D(x)=[x-M(x)]2f(x)dx (12)

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством:


σ(x)=√D(x) (13)

Пример 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения:

Решение: Найдем плотность распределения:

Найдем математическое ожидание по формуле (9):

Найдем дисперсию по формуле (11*):

Пример 13. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения вероятностей f(x), равной 1/2 на отрезке [1,3] и 0 во всех остальных точках оси абцисс, т.е на интервалах (-∞;1) и (3;+∞).

Решение. Используя формулу (10), для математического ожидания и разбивая первоначальный интеграл на 3 интеграла последовательно получим:

Используя формулу (11) найдем дисперсию аналогично:

И по формуле (13) вычислим среднее квадратическое отклонение

Наталья Будённая   17.02.2012 13:48
Я нашла опечатку: в формуле 11 со звёздочкой математическое ожидание должно быть в квадрате.
Имя *:
Email:
Код *: