В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0;1]: 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x₂)F(x₁), если x₂>x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0<x<2)=F(2)-F(0)

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0<x<2)=1/2

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F'(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;b], называют определенный интеграл:

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

Модой M₀(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой M_e(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то:

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то:

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством:

Пример 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения:

Решение: Найдем плотность распределения:

Найдем математическое ожидание по формуле (9):

Найдем дисперсию по формуле (11*):

Пример 13. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения вероятностей f(x), равной 1/2 на отрезке [1,3] и 0 во всех остальных точках оси абцисс, т.е на интервалах (-∞;1) и (3;+∞).

Решение. Используя формулу (10), для математического ожидания и разбивая первоначальный интеграл на 3 интеграла последовательно получим:

Используя формулу (11) найдем дисперсию аналогично:

И по формуле (13) вычислим среднее квадратическое отклонение