Пусть производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Как вычислить вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема. (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

- интегральная функция Лапласа.

Пример 5. Вероятность того, что студент не прошел мед.осмотр, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно выбранных студентов окажутся не прошедшими мед.осмотр от 70 до 100 студентов.

Решение: по условию, k₁=70; k₂=100; n=400; p=0,2; q= = 0,8. Следовательно,

P_n(k₁, k₂)=Ф(2,5)-Ф(-12,5)={так как Ф(-x)=-Ф(x)}=Ф(2,5)+Ф(12,5)=0,49+0,39=0,88