Пусть в начале координат системы O' находится излучатель (см. рис. 1.30). В начале координат системы O приемник.

Уравнение колебаний в системе O' имеет вид:

где знак «-» берется потому, что волна распространяется в отрицательном направлении оси X.

Уравнение колебаний в системе O:

Но в системе O уравнение колебаний можно получить, исходя из уравнения колебаний в системе O', путем замены x' на x и t' на t:

Сравнивая последнее уравнение с уравнением В, получим:

Переходя к линейной частоте, получим:

Или, окончательно, при V << c

Отсюда, относительное изменение частоты:

Это мы будем наблюдать, так называемый продольный эффект. Но кроме того будет наблюдаться и поперечный эффект Доплера, который в акустике не наблюдается. Однако тут формула для изменения частоты другая:

Поперечный эффект Доплера обусловлен изменением течения времени в различных инерциальных системах отсчета.

Эффект Доплера может быть использован для определения радиальной скорости звезд.

Наличием эффекта Доплера объясняется уширение спектральных линий вследствие теплового движения излучающих атомов и молекул.

В частности, с помощью эффекта Доплера были измерены радиальные скорости видимых Галактик. Оказалось, что все Галактики удаляются от нас со скоростью v. Причем, чем дальше от нас находится Галактика, тем больше скорость v, так, что выполняется соотношение:

V=α·r, где α=3·10^-18 c^-1

Значение этой константы определено эмпирически.

Величину 1/α, имеющую размерность времени, называют возрастом Вселенной:

1/α≈3·10¹⁷ c=5·10¹⁵ мин=8·10¹³ час≈10¹⁰ лет

Величину c/α, имеющую размерность длины, называют радиусом Вселенной:

c/α=3·10⁸ · 3·10¹⁷=9·10²⁵ м≈10²⁶ м