Menu
Свободные электрические колебания в контуре без активного сопротивления
При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися со временем. Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света. Если l – длина цепи, то на прохождение её электромагнитное возмущение затрачивает время τ=l/c, где c=3·108 - скорость света в вакууме.

Ток называется квазистационарным, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если τ=l/c<<T, где T - период изменений.

Например, для цепи длиной l=3 м время τ=10-8 с, поэтому токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 106 Гц (это соответствует T=10-6 с).

Мы будем рассматривать только квазистационарные токи при изучении всех видов электрических колебаний. Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.

В цепи, содержащей катушку индуктивностью L и конденсатор ёмкостью C, могут возникать электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.


Рис. 17

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 17,а). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ K. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядиться, а ток в цепи достигнет максимума (рис.17,б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу – его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции (Es). Ток будет перезаряжать конденсатор, возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец ток прекратился, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т.д. - процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников совершаются строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нём и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления. Прежде всего, выберем положительное направление обхода контура, например, по часовой стрелке, т.е. условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. Тогда:

I=dq/dt (58)

Напишем для колебательного контура выражение закона Ома:

IR=(φ12)+E1,2 (59)

В нашем случае R=0, φ12=-(q/C), E1,2=Es=-L·dI/dt

Подставив эти значения в (59), получаем:

0=-(q/C)-L·dI/dt (60)

Учитывая, что dI/dt=d2q/dt2, получаем уравнение:

(d2q/dt2) +(q/LC)=0 (61)

Сравнение уравнения (61) с уравнением (5) показывает, что уравнение (61) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Из этого сравнения находим собственную частоту колебаний в контуре:

ω0=1/√(LC) (62)

А уравнение (61) принимает вид:

(d2q/dt2)+ω02q=0 (63)

Решением этого уравнения является гармоническая функция:

q=qmcos(ω0t+α) (64)

Для периода собственных колебаний получается так называемая формула Томсона:

T0=2π√(LC) (65)

Напряжение на конденсаторе равно:

U=q/C=qmcos(ω0t+α)/C=Umcos(ω0t+α) (66)

Продифференцировав функцию (64), получим выражение для силы тока:

I=-ω0qmsin(ω0t+α)=Imcos(ω0t+α+π/2) (67)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.

Сопоставление формул (64) и (66) с формулой (67) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот. Из формул (66) и (67) следует, что:

Um=qm/C
Im0qm=qm/√(LC)

Взяв отношение этих амплитуд, получаем:

Um=Im√(L/C) (68)

Эту формулу можно получить, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля должно быть равно наибольшему значению магнитного поля, т.е.

CUm2/2=LIm2/2
Имя *:
Email: