Menu
Затухающие электрические колебания
Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание и излучение. Свободные колебания будут затухающими. Выражение закона Ома, написанное для цепи 1-3-2, изображенной на рис.18, имеет вид:

IR=-(q/C)-L·dI/dt (69)


Рис. 18

Разделив это уравнение на L и учтя, I=dq/dt, получим:

(d2q/dt2)+(R/L)·(dq/dt)+(1/LC)·q=0 (70)

Приняв во внимание, что 1/LC=ω02, и введя обозначение β=R/2L, уравнению (70) можно придать следующий вид:

(d2q/dt2)+2β·(dq/dt)+ω02q=0 (71)

Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний (32).

При условии, что β202, т.е. R2/4L2<1/LC решение уравнения (71) имеет вид:

q=qm0e-βtcos(ωt+α) (72)

ω=√(ω022)=√[(1/LC)-(R/2L)2] (73)

Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω0.

Величину T=2π/ω называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (72) не периодическая.

(74)

где T0 - период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре:

Uc=q/C=(qm/C)·cos(ωt+α)

(75)

I=dq/dt=qm0e-βt[-βcos(ωt+α)-ωsin(ωt+α)]

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение ω0/√(ω22), получим:

Введя угол ψ, определяемый условиями

cosψ=-β/√(ω22)=-β/ω0;
sinψ=ω/√(ω22)=ω/ω0;

можно написать:

I=ω0qm0e-βtcos(ωt+α+ψ) (76)

Поскольку cosψ<0, а sinψ>0 значение ψ заключено в пределах π/2 до π. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π/2 (при R=0 опережение составляет π/2).

График функции (72) изображен на рис.19. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.


Рис. 19

Затухание колебаний характеризуется рядом величин, рассмотренных нами при анализе затухающих механических колебаний (коэффициент затухания β, время релаксации τ, логарифмический декремент затухания χ, добротность Q). Если затухание мало (β2<<ω02), то ω≈ω0=1/√(LC) и тогда:

χ=β·2π/ω0=πR·√(C/L) (77)

Q=(1/R)·√(L/C) (78)

Есть ещё одна полезная формула для добротности в случае слабого затухания:

Q=2π·W/δW (79)

где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период T.

В самом деле, энергия пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W~e-2βt. Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W=2βT=2χ. Учитывая, что χ=π/Q, получаем формулу (79).

В заключение отметим, что при β2≥ω02 вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим:

R4/4L4=1/LC ⇒ Rкр=2·√(L/C)
Имя *:
Email: