Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание и излучение. Свободные колебания будут затухающими. Выражение закона Ома, написанное для цепи 1-3-2, изображенной на рис.18, имеет вид:

Разделив это уравнение на L и учтя, I=dq/dt, получим:

Приняв во внимание, что 1/LC=ω₀², и введя обозначение β=R/2L, уравнению (70) можно придать следующий вид:

Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний (32).

При условии, что β²<ω₀², т.е. R²/4L²<1/LC решение уравнения (71) имеет вид:

Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω₀.

Величину T=2π/ω называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (72) не периодическая.

где T₀ - период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре:

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение ω₀/√(ω²+β²), получим:

Введя угол ψ, определяемый условиями

cosψ=-β/√(ω²+β²)=-β/ω₀;
sinψ=ω/√(ω²+β²)=ω/ω₀;

можно написать:

Поскольку cosψ<0, а sinψ>0 значение ψ заключено в пределах π/2 до π. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π/2 (при R=0 опережение составляет π/2).

График функции (72) изображен на рис.19. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний характеризуется рядом величин, рассмотренных нами при анализе затухающих механических колебаний (коэффициент затухания β, время релаксации τ, логарифмический декремент затухания χ, добротность Q). Если затухание мало (β²<<ω₀²), то ω≈ω₀=1/√(LC) и тогда:

Есть ещё одна полезная формула для добротности в случае слабого затухания:

где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период T.

В самом деле, энергия пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W~e^-2βt. Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W=2βT=2χ. Учитывая, что χ=π/Q, получаем формулу (79).

В заключение отметим, что при β²≥ω₀² вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим: