![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/11222309.png)
Рис. 18
Разделив это уравнение на L и учтя, I=dq/dt, получим:
Приняв во внимание, что 1/LC=ω02, и введя обозначение β=R/2L, уравнению (70) можно придать следующий вид:
Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний (32).
При условии, что β2<ω02, т.е. R2/4L2<1/LC решение уравнения (71) имеет вид:
ω=√(ω02-β2)=√[(1/LC)-(R/2L)2] (73)
Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω0.
Величину T=2π/ω называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (72) не периодическая.
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/94954894.png)
где T0 - период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре:
Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение ω0/√(ω2+β2), получим:
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/14208275.png)
Введя угол ψ, определяемый условиями
cosψ=-β/√(ω2+β2)=-β/ω0;
sinψ=ω/√(ω2+β2)=ω/ω0;
можно написать:
Поскольку cosψ<0, а sinψ>0 значение ψ заключено в пределах π/2 до π. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π/2 (при R=0 опережение составляет π/2).
График функции (72) изображен на рис.19. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/69410497.png)
Рис. 19
Затухание колебаний характеризуется рядом величин, рассмотренных нами при анализе затухающих механических колебаний (коэффициент затухания β, время релаксации τ, логарифмический декремент затухания χ, добротность Q). Если затухание мало (β2<<ω02), то ω≈ω0=1/√(LC) и тогда:
Q=(1/R)·√(L/C) (78)
Есть ещё одна полезная формула для добротности в случае слабого затухания:
где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период T.
В самом деле, энергия пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W~e-2βt. Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W=2βT=2χ. Учитывая, что χ=π/Q, получаем формулу (79).
В заключение отметим, что при β2≥ω02 вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим: