Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,...,B_n образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (12).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменилось (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятность гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности:

Найдем сначала условную вероятность P_A(B₁). По теореме умножения имеем:

Отсюда . Заменив здесь Р(А) по формуле (12), получим:

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы B_i (i=1,2,...,n) может быть вычислена по формуле:

Формулу (13) называют формулой Байеса (от имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 6: В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично, 4-хорошо, 2-посредственно, 1- плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный –на 16, посредственно – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на все 3 заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично 2) плохо

Решение: Рассмотрим полную группу событий: A - студент ответит на все вопросы B₁ - подготовлен отлично, B₂ - подготовлен хорошо, B₃ - подготовлен посредственно, B₄ - подготовлен плохо.
Вероятности этих событий равны: Р(B₁)=0.3; Р(B₂)=0.4; Р(B₁)=0.2; Р(B₁)=0.1
Найдем условные вероятности: P_B1(A)=1; P_B2(A)==0.491; P_B3(A)==0.105; P_B4(A)==0.009
P(A)=0.3•1+0.491•0.4+0.105•0.2+0.009•0.1=0.518
По формуле (13) найдем
1) Р_A(B₁)=0.3•=0.58 2) Р_A(B₁)=0.1•=0.002