|
   |
| Модератор форума: Bukashka, noka |
| Форум "Казахстан и образование"Математика геометрия Ученический форум Математика Решение систем тригонометрических неравенств (Все формулы для решения тригонометрических систем уравений) |
| Решение систем тригонометрических неравенств |
ОЛЕСЯ
31.10.2011, 19:58, Понедельник | Сообщение 1
sinx≥½ cosx<0 tgx≤1 sinx<½ |
|
31.10.2011, 20:18, Понедельник | Сообщение 2
Итак начнем. Для того чтобы научиться решать системы тригонометрических уравнений, нужно иметь представление о решении обычных тригонометрических неравенств. sinx>a (|a|<1) x∈(arcsin(a)+2Rπ; π-arcsin(a)+2Rπ) sinx<a (|a|<1) x∈(-π-arcsin(a)+2Rπ; arcsin(a)+2Rπ) cosx>a (|a|<1) x∈(-arccos(a)+2Rπ; arccos(a)+2Rπ) cosx<a (|a|<1) x∈(arccos(a)+2Rπ; 2π-arccos(a)+2Rπ) tgx>a x∈(arctg(a)+Rπ; (π/2)+Rπ) tgx<a x∈((-π/2)+Rπ; arctg(a)+Rπ) ctgx>a x∈(Rπ; arcctg(a)+Rπ) ctgx<a x∈(arcctg(a)+Rπ; π+Rπ) Теперь как же решаются системы неравенств. Дело в том что функция имеет свой график, например косинусоида имеет такой рисунок:  Как видно из графика функция косинуса принимает значения от 1 до -1 в зависимости от угла. Синусоида же имеет другой график, я специально наложил график синусоиды и косинусоиды, чтобы было видно разницу:  Все это является основами решения, но для того чтобы научиться решать системы тригонометрических неравенств нужно знать простейшие понятия единичной окружности и знаках по четвертям! Что такое единичная окружность?  Из этого рисунка становится понятным какой нужно начертить угол в дальнейшем. Чтобы правильно это сделать нужно знать основные свойства тригонометрических функций: sin(-x)=-sinx cos(-x)=cosx tg(-x)=-tgx ctg(-x)=-ctgx Это основные. А вот дополнительно к ним. Секрет успеха. sin(x+2kπ)=sinx cos(x+2kπ)=cosx tg(x+Rπ)=tgx ctg(x+Rπ)=ctgx Теперь поговорим о там как это получилось так, внимательно обрати внимание на знаки тригонометрических функций по четвертям.  Вообще логическое объяснение в этом. Когда функция отрицательна, если она находится в четверти с отрицательным значением, она будет меняться на противоположную. Это все описано в основных правилах (см. выше).  А теперь что меняется? Для примера возьму функцию тангенса tgπ+Rπ  По единичной окружности мы смело можем определить в какую сторону чертить угол заданный неравенством. Все это делается учитывая четверти. Каждая четверть составляет π/2 или 90 градусов, это как оси x и y. Далее перейдем к практике. |
|
31.10.2011, 20:48, Понедельник | Сообщение 3
Теперь начнем рассмотрения примеров, это было общая информация для того чтобы немного иметь представление о решении таких заданий. sinx≥½ cosx<0 Итак теперь алгоритм решения: 1) Решим первое неравенство: sinx≥½ x∈[arcsin(a)+2Rπ; π-arcsin(a)+2Rπ] - скобки круглые заменил на квадратные потому что сама точка включается в интервал. x∈[arcsin(½)+2Rπ; π-arcsin(½)+2Rπ] Используя такую табличку найдем значения.  x∈[π/6+2Rπ; 5π/6+2Rπ] 2) Теперь на единичной окружности нужно указать этот интервал, как это сделать? Вся окружность представляет собой 360 градусов, разобьем окружность на четверти и около каждой укажем сколько градусов.  Итак я указал по четвертям, а также отметил точку π/6 и 5π/6, что собственно равно 30 и 150 градусов. Значит дуга окружности от 30 градусов до 150 градусов будет решением первого неравенства и спешу заметить мы включаем этот промежуток в квадратные скобки, а значит он тоже входит в указанный промежуток. 3) Решаем второе уравнение. cosx<0 x∈(arccos(a)+2Rπ; 2π-arccos(a)+2Rπ) x∈(π/2+2Rπ;3π/2+2Rπ) Заметь знак не включает в себя саму точку, поэтому оформляется в круглых скобках. 4) На единичной окружности отметить промежуток от π/2 до 3π/2.  Как видишь этот промежуток я заштриховал красной линией, чтобы не было путаницы сразу скажу что 5) Закрасить область, которая объединяет два промежутка.  6) Указать промежуток, который является решением. X∈(π/2+2Rπ; 5π/6+2Rπ] (*квадратная скобка закрывает, потому что точка включена, круглае же скобка показывает что все значения кроме нее либо больше либо меньше) 2Rπ дает один круг, где R - неотрицательное число. π - увеличивает на 180 градусов и рисует снова. Это потребуется для дальнейшей задачи! |
|
31.10.2011, 21:11, Понедельник | Сообщение 4
Quote (ОЛЕСЯ) tgx≤1 sinx<½ 1) Решаем неравенство tgx≤1 x∈[(-π/2)+Rπ; arctg(a)+Rπ] Из значений по таблице берем: x∈[(-π/2)+Rπ; arctg(1)+Rπ] x∈[(-π/2)+Rπ; π/4+Rπ] В прошлом примере я объяснил что такое 2Rπ. Итак 2Rπ сообщает нам о том что функция повторится через период 2Rπ, то есть при обходе на 360 градусов все вернется снова. Смотрите на рисунок синусоиды, тут будет понятнее. Функция повторяется через каждые 2π периоды. А тангенсоида ведет себя по другому, смотри на рисуночек:  В этом рисунке мы ищем точку (-π/2) и смотрим как она себя ведет если увеличивать период π тот что по оси x. На y показаны значения угловые в градусах. Для простоты привыкли период π считать за 180 градусов. Посмотри на график 2) Отмечаем на окружности А это значит что функция тангенса будет повторяться через период π, а это значит что на единичной окружности промежуток x∈[(-π/2)+Rπ; π/4+Rπ] будет выглядеть как:  Так как функция тангенса повторяется на каждом промежутке π, то нам просто необходимо было сделать именно так. Для этого я просто tg(-π/2)=-tg(π/2) это по формуле приведения, смотри на знаки тригонометрических функций по четвертям. Отметили точку π/2 и π/4, прибавили к ним по π и получили 3π/2 и 5π/4. Вот и получается что два промежутка на окружности вышло!!! 3) Решаем неравенство 2. sinx<½ x∈(-π-arcsin(a)+2Rπ; arcsin(a)+2Rπ) x∈(-π-arcsin(½)+2Rπ; arcsin(½)+2Rπ) x∈(-π-π/6+2Rπ; π/6+2Rπ) x∈(-7π/6+2Rπ; π/6+2Rπ) Также отмечаем на окружности.  Соединив получим промежуток X∈(-7π/6; 5π/4] u [-π/2; π/6) |
Гость
27.05.2012, 14:24, Воскресенье | Сообщение 5
Помогите решить систему пожалуйста sin x >1/5 cosx <1/5 |
|
29.05.2012, 21:14, Вторник | Сообщение 6
Quote (Гость) Помогите решить систему пожалуйста sin x >1/5 cosx <1/5 arccos1/5+2πn<x<π-arcsin1/5+2πn,n∈Z |
Abilay
05.12.2012, 22:08, Среда | Сообщение 7
tgx≥-1
|
Гость
14.01.2013, 14:30, Понедельник | Сообщение 8
решить систему sinx≥0 tgx>1 |
Гость
23.02.2013, 16:44, Суббота | Сообщение 9
Упростить выражение:S in²2α+cos²2α+ctg²5α |
Гость
07.04.2013, 13:19, Воскресенье | Сообщение 10
Артем спаπсибо Вам за подробное решение задачи, за то что Вы тратите ваше драгоценное время на элементарные вещи, и пытаетесь быть полезным. Все так просто и понятно, еще раз спс, единственное в математическπой записи было бы строже если бы написано было не 5п/4, а -3п/4 от меньшего к большему, если не прав буду благодарен если поправите.
|
Гость
11.07.2013, 15:59, Четверг | Сообщение 11
Артем, у тебя грубейшая ошибка в решении второй системы. Тангенс в точках π/2 и -π/2 НЕ ОПРЕДЕЛЕН, и поэтому промежуток x просто не может включать в себя эти точки. Исправь, пожалуйста, ответ и не путай людей - им ещё ЕГЭ сдавать. А так - мило и красиво. Спасибо за внимание. |
|
11.07.2013, 23:57, Четверг | Сообщение 12
Гость, можно подробнее?
|
|
13.07.2013, 14:43, Суббота | Сообщение 13
здравствуйте, не могли бы помочь: Численные значения объема шара и площади поверхности шара равны. Найдите радиус шара. варианты ответов: 5; 4; 3,5; 3, 6 см Ответ будет 3 V=4PR³/3 S=4PR² 4PR³/3=4PR² R=3 |
Гость
03.09.2013, 23:07, Вторник | Сообщение 14
помогите решить систему неравенств sin х>0.3 cosх<0.3
|
Агния
19.01.2014, 21:24, Воскресенье | Сообщение 15
1)решите систему неравенств sinx<0; sinx >-sqrt3/2. 2) cosx>-sqrt2/2; sinx<sqrt3/2. |
Гость
20.01.2014, 19:26, Понедельник | Сообщение 16
sinx=a, /a/≤1
|
Гость
04.02.2014, 21:06, Вторник | Сообщение 17
Пожалуйста помогите решить неравенство: sinx≥-5
|
|
04.02.2014, 22:13, Вторник | Сообщение 18
Цитата Гость (  )sinx≥-5 -1≤ sinx ≤1 x∈(-∞;+∞) |
Гость
04.02.2014, 22:13, Вторник | Сообщение 19
2sinx≥ √3 tgx≤ 0 |
|
13.04.2014, 20:43, Воскресенье | Сообщение 20
2sinx≤-√3 tgx≤ 0 Помогите пожалуйста решить систему, смущает минус и из-за него видимо не выходит |
|
09.05.2014, 17:33, Пятница | Сообщение 21
daniyar96, решение)
|
Гость
20.11.2014, 18:35, Четверг | Сообщение 22
помогите пожалуйста решить неравенство-ctg x ≥ -√3
|
Гость
09.12.2014, 20:41, Вторник | Сообщение 23
мне нужен график синусоиды...пожалуйста.
|
Анжелика
05.02.2015, 22:26, Четверг | Сообщение 24
{Sinx >0,3 {Cosx <0,3 Если что это одна система)))) |
Администрация
Друзья сайта
Студенты
Ученики
| |||
| |||