Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 9 из 9«12789
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Векторы, операции с векторами. (Все задачи на векторы, решение бесплатно!)
Векторы, операции с векторами.
Артем Offline Администрация
15.10.2014, 20:12, Среда | Сообщение 241
Цитата Гость 2 ()
Помогите пожалуйста решить. В параллелограме ABCD: векторы AB(2;-10;1), AD(5;8;-2), и точка A(1;2;-1). Тогда сумма координат точки C равна ____.




Для начала применим правило сложения векторов методом параллелограмма:

Пусть вектор AB(x₁; y₁; z₁), а AD(x₂; y₂; z₂), тогда координаты вектора AC в параллелограмме ABCD равны:

AC (x₁+x₂; y₁+y₂; z₁+z₂)

AC (2+5; -10+8; 1+(-2))
Вектор AC (7; -2; -1)

Зная вектор AC(x₃; y₃; z₃) и точку A(xa; ya; za), найдем точку C(x₃+xa; y₃+ya; z₃+za)

C (7+1; -2+2; -1+(-1))
Ответ C (8; 0; -2)
Прикрепления: 9834587.png(9Kb)
Артем Offline Администрация
15.10.2014, 20:24, Среда | Сообщение 242
Цитата Аниме123 ()
Здравствуйте! Пожалуйста, помогите с решением:
Даны точки Р(2,-2) Q(4,0) R(0,4)
1) РT- медиана треугольника PQR. Найдите координаты вектора PT
2) Найдите |2PQ+QR|
3) Найдите угол PQR




1) Медиана делит сторону RQ пополам, зная координаты точек P(x₁; y₁; z₁) и Q(x₂; y₂; z₂), координаты точки лежащей посередине между ними будут равны:

T ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)
T ((4+0)/2; (0+4)/2)
T (2; 2)

Координаты вектора PT (из теории, чтобы найти координаты вектора по двум точкам, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

PT (xT-xP; yT-yP)

Отсюда вектор PT равен: PT (2-2; 2-(-2)) ⇒ PT (0;4)

2) Запись |2PQ+QR| говорит о том, что нужно найти модуль вектора полученный в результате суммы удвоенного вектора PQ и QR, для решения сначала найдем вектора PQ и QR как в первом пункте:

PQ (4-2; 0-(-2)) ⇒ PQ (2; 2)
2PQ (4; 4)

QR (0-4; 4-0) ⇒ QR (-4; 4)

Сумма векторов 2PQ и QR равна вектору h:

h (2+(-4); 2+4) ⇒ h (-2; 6)

Модуль вектора h (x, y) найдется по формуле:

|h| = √(x²+y²)

Тогда ответ: |2PQ+QR| = √((-2)² + (6)²) = √40

3) Угол PQR между векторами QP(x₁; y₁) и QR(x₂; y₂) можно вычислить по формуле:

cos(∠PQR) = (QP * QR) / ( |QP| * |QR| )

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Для начала найдем вектор QP:

QP (2-4; -2-0) ⇒ QR (-2; -2)
QR (-4; 4) {Уже находили в прошлом задании}

Скалярное произведение векторов QP(x₁; y₁) и QR(x₂; y₂) дает выражение:

QP * QR = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ = -2*-4 + -2*4 = 0

Раз скалярное произведение векторов равно 0, значит cos(∠PQR)=0
∠PQR отсюда равен 90 градусов.
Прикрепления: 0573375.png(19Kb)
Гость
15.10.2014, 20:39, Среда | Сообщение 243
Помогите решить, пожалуйста . Дано: вектор AB=a+2b,вектор BC=-4a-b,вектор CD=-5a-3b.Доказать,что ABCD-трапеция
Артем Offline Администрация
16.10.2014, 04:03, Четверг | Сообщение 244
Цитата Аниме123 ()
В треугольнике КМН угол К 45 градусов, КМ=МН, КН=8 см. Медиана МR и КР пересекаются в точке О
1) Выразите векторы ОМ и ОР через вектор а=вектору КR и вектор в=вектору КМ
2) Найдите |ОR| и |МР|




Треугольник равнобедренный, следовательно MR является и высотой и медианой. Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Что нужно знать о медиане:
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников

1) Если заданы два неколлерианых вектора a и b (они называются базисными), через них можно выразить все остальные вектора на этой плоскости.



По теореме медиан, для сонаправленных и коллинеарных векторов RM и OM запишем соотношение OM/RM = 2/3 ⇒ OM=(2/3)*RM

Разложим вектор OM по векторам КR и KM

Векторно: KR+RM=KM ⇒ RM=KM-KR

Подставляя в соотношение:

OM=(2/3)*(KM-KR)

Получим ответ: OM=(2/3)(a-в)



По теореме медиан, для сонаправленных и коллинеарных векторов KP и OP, соотношение примет вид: OP/KP = 1/3 ⇒ OP=(1/3)*KP

Разложим вектор OP по векторам КR и KM

Для этого достроим треугольник до параллелограмма

KD=KM+KN
KN=2*KR ⇒ KD=KM+2*KR = 2a+b
KP=(1/2) * KD = (1/2) *2a+b = a+(b/2)

Подставляем KP:
OP=(1/3)*KP = OP=(1/3)* (a+(b/2)) = (a/3) + (b/6)
Ответ: OP = (1/3)*a + (1/6)*b

2) |OR| = (1/3)*|RM|
|RM|=|KR|
|OR|=4/3

|MP|=|MN|/2
|KM|=|MN|=4√2 (По теореме Пифагора)
|MP|=2√2
Прикрепления: 9780534.png(15Kb) · 5298343.png(15Kb) · 3722696.png(27Kb)
Артем Offline Администрация
16.10.2014, 14:11, Четверг | Сообщение 245
Цитата Гость ()
Помогите решить, пожалуйста . Дано: вектор AB=a+2b,вектор BC=-4a-b,вектор CD=-5a-3b.Доказать,что ABCD-трапеция




Вектор DA равен сумме векторов AB, BC и CD

DA=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b

Нормаль вектор DA (-8;-2)
Нормаль вектор BC (-4;-1)

-8 / -4 = -2 / -1 Условие выполняется, векторы DA и BC параллельные, ABCD является трапецией.
Прикрепления: 3393506.png(8Kb)
ГостьяА
26.10.2014, 14:07, Воскресенье | Сообщение 246
Пожалуйста помогите решить задачу! В параллелограмме ABCD дано: АВ=2а-b, AD=а+3b, |а|=3, |b|=2, угол между векторами а и b=60 градусов.Найдите длины отрезков АС и ВD.
Артем Offline Администрация
27.10.2014, 21:11, Понедельник | Сообщение 247
Цитата ГостьяА ()
Пожалуйста помогите решить задачу! В параллелограмме ABCD дано: АВ=2а-b, AD=а+3b, |а|=3, |b|=2, угол между векторами а и b=60 градусов.Найдите длины отрезков АС и ВD.




Вектор AC равен сумме векторов AB и AD:

AC = AB + AD = 2a-b + a+3b = 3a+2b

Вектор BD равен разности векторов AD и AB:

BD = AD - AB = a+3b - (2a-b) = 4b-a

Для вектора AC:

|AC|²=AC²=(3a+2b)(3a+2b)=9a²+12ab+4b²

|a|²=a²=3²=9

|b|²=b²=2²=4

a·b=|a|*|b|*cos60=2*3/2=3

AC²=9*9+12*3+4*4=133

AC=√133

Для вектора BD:

|BD|²=BD²=(4b-a)(4b-a)=a²-8ab+16b²

BD²=9-8*3+16*4=49

BD=7
Прикрепления: 2211447.png(8Kb)
Гость
30.10.2014, 01:10, Четверг | Сообщение 248
Вектор a , перпендикулярный к вектору в={8;-15;3} и оси OZ, образует с осью OY острый угол, зная что |a|=51, найти его координаты.(желательно подробно)
Артем Offline Администрация
30.10.2014, 21:46, Четверг | Сообщение 249
Цитата Гость ()
Вектор a , перпендикулярный к вектору в={8;-15;3} и оси OZ, образует с осью OY острый угол, зная что |a|=51, найти его координаты.(желательно подробно)


Векторы являются перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть вектор имеет координаты: a (x,y,z), раз в условии сказано что вектор a перпендикулярен оси OZ, можно записать координаты вектора a (x,y,0)

Согласно первому условию о перпендикулярности векторов a и b получим первое уравнение:

8x-15y+3z=0, т.к. z=0 уравнение примет вид:

8x-15y=0 ⇒ x=15y/8

В условии известен модуль вектора a, равный 51:

√(x²+y²+z²)=51, т.к. z=0 уравнение примет вид:

√(x²+y²)=51

Запишем систему уравнений из двух неизвестных:

x=15y/8
√(x²+y²)=51

Отсюда найдем корни уравнения: x₁=-45, y₁=-24, x₂=45, x₂=24

У нас получилось два ответа, но в условии сказано что угол острый с OY, это говорит о том что y>0, следовательно подходит второй ответ, вектор a(45,24,0)

Можете проверить, через скалярное произведение:

a·b = 45⋅8+24⋅(−15)+0⋅3=0 (Векторы перпендикулярны)

Также для оси OZ направляющий вектор будет равен вектору c (0,0,1)

a·c =45⋅0+24⋅0+0⋅1=0 (Векторы перпендикулярны)

Надеюсь понятно объяснил)
Гость
04.11.2014, 16:51, Вторник | Сообщение 250
Помогите пожалуйста.
Если векторы AB и СD коллинеарны, то:
а) ABвектор = СDвектор
б) АBвектор= k·СDвектор
в)|АB|вектор=|CD|вектор
Артем Offline Администрация
04.11.2014, 19:54, Вторник | Сообщение 251
Цитата Гость ()
Если векторы AB и СD коллинеарны, то:
а) ABвектор = СDвектор
б) АBвектор= k·СDвектор
в)|АB|вектор=|CD|вектор


Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами.

Следовательно утверждение а, в ложно, б истина. Ответ б)
Гость
09.11.2014, 15:39, Воскресенье | Сообщение 252
Вектор a=3m-2n+6p, где m, n, и p-взаимно перпендикулярные векторы, |m|=2, |n|=1, |p|=3. Найти |a| и углы, которые вектор а образует с каждым из векторов m, n, p.(c пояснениями пожалуйста)
Гость
09.11.2014, 15:48, Воскресенье | Сообщение 253
Векторы а, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=0(вектор). Доказать, что [a,b]=[b,c]=[c,a]. Пользуясь геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов, пояснить полученный результат.(помогите, подробно)
Артем Offline Администрация
09.11.2014, 22:49, Воскресенье | Сообщение 254
Цитата Гость ()
Вектор a=3m-2n+6p, где m, n, и p-взаимно перпендикулярные векторы, |m|=2, |n|=1, |p|=3. Найти |a| и углы, которые вектор а образует с каждым из векторов m, n, p.(c пояснениями пожалуйста)




Взаимно перпендикулярные векторы представляют собой векторы, лежащие на осях OX, OY, OZ:

Достроим вектор m до вектора 3m, вектор n до вектора 2n, вектор p до 6p, как изображено на

Разность векторов 3m-2n равна вектору d

Затем вектор d перенесем к вектору 6p и найдем сумму векторов d+6p=a

Это для того, чтобы вы поняли как происходит получение вектора a.

Так как векторы 3m, 2n, 6p начинаются с точки O (0,0,0) можно найти координаты этих векторов:

Для этого от координат конца вектора, отнимем 0 и получим сам вектор:

3m = (6,0,0)
2n = (0,0,2)
6p = (0,18,0)

В результате вычислений вектор a имеет вид: (6;18;-2)

Остается применить формулу:

sinα=a·b / |a|*|b|

Тогда угол между векторами a(6;18;-2) и m (2;0;0) равен:

|a| = √(6²+18²+(-2)²)=2√91

a·m = 6*2 + 18*0 + (-2)*0=12

sinα=12 / (2√91 * 2) = 3 / √91

Между векторами a(6;18;-2) и n (0;0;1) равен:

a·n = 6*0 + 18*0 + (-2)*1=-2

sinβ=-2 / (2√91 * 1) = -1 / √91

Между векторами a(6;18;-2) и p(0;3;0) равен:

a·m = 6*0 + 18*3 + (-2)*0=12

sinγ=54 / (2√91 * 3)= 9 / √91
Прикрепления: 4040518.png(19Kb)
Артем Offline Администрация
11.11.2014, 10:21, Вторник | Сообщение 255
Цитата Гость ()
Векторы а, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=0(вектор). Доказать, что [a,b]=[b,c]=[c,a]. Пользуясь геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов, пояснить полученный результат.(помогите, подробно)


Сумма трех векторов равна нулю, следовательно это треугольник, это легко проверить по координатам.

[a·b] - векторное произведение

[a·b] = |a| * |b| * sin(a^b)
[b·c] = |b| * |c| * sin(b^c)
[a·c] = |a| * |c| * sin(a^c)



Геометрический смысл в том, что площадь треугольника ABC равна:

SABC=(1/2) * AB * BC * sinα =(1/2) * BC * CA * sinβ =(1/2) * CA * AB * sinγ

AB=|a|, BC=|b|, CA=|c|

Векторное произведение двух векторов равно удвоенной площади треугольника построенных на этих векторах. Или:

[a·b] = [b·c] = [a·c] = 2*SABC
Прикрепления: 0775864.png(12Kb)
Артём
16.11.2014, 22:06, Воскресенье | Сообщение 256
помогите пожалуйста
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-5:-1), B(-2;-5), C(-2;-1). Найти 1) уравнения сторон; уравнение высоты, опущенной и вершины С; 3)уравнение медианы к стороне АС; угол А.
Артем Offline Администрация
17.11.2014, 06:19, Понедельник | Сообщение 257
Цитата Артём ()
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-5:-1), B(-2;-5), C(-2;-1). Найти 1) уравнения сторон; уравнение высоты, опущенной и вершины С; 3)уравнение медианы к стороне АС; угол А.


Уравнение прямой по двум точкам:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)

(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁)

Тогда уравнение прямой AB:

(x + 5) / (-2 + 5) = (y + 1) / (-5 + 1)

(x + 5) / (3) = (y + 1) / (-4)

-4x-20 = 3y+3

y=(-4x-23)/3

Также составляются и уравнения для прямых BC, CA.

Уравнение высоты в треугольнике.

Так как высота из вершины C падает на сторону AB, всё что нужно найти уравнение прямой перпендикулярной AB и проходящей через точку С.

Угловой коэффициент перпендикулярных прямых можно записать по формуле: k₁=-1/k₂

k₁ - угловой коэффициент прямой AB
k₂ - угловой коэффициент прямой перпендикулярной AB

Если прямая задана уравнением y=kx+b, то угловой коэффициент равен k

Для прямой AB угловой коэффициент равен (-4/3)

Тогда угловой коэффициент перпендикуляра CS проведенного из точки С на AB равен (3/4)

Общее уравнение для прямой перпендикулярной AB примет вид:

y=(3/4)x+b

Остается теперь найти b, для этого подставим координаты точки C(x,y)

C(-2;-1)

-1=-2*(3/4)+b

b=-1 + (6/4) = -1+1.5=0.5=1/2

Тогда общее уравнение прямой из точки C перпендикулярной AB имеет вид:

y=(3/4)x+(1/2)

Уравнение медианы по координатам треугольника

Медиана в треугольнике прямая из вершины на середину противоположенной стороны.

В условии требуется найти медиану к стороне AC, пусть точка S делящая AC пополам имеет координаты:

A(x₁,y₁), C(x₂,y₂)

S ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)

S ((-5-2)/2; (-1-1)/2)
S (-7/2; -1)

Теперь остается составить уравнение прямой по двум точкам B и S, а это мы уже умеем.
Гость
03.12.2014, 14:32, Среда | Сообщение 258
Даны точки А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1).
Составить уравнения перпендикулярной и параллельной прямой, проходящей через точку
М (3; -1; 2) вектору AB.
Артем Offline Администрация
03.12.2014, 15:01, Среда | Сообщение 259
Цитата Гость ()
Даны точки А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1).
Составить уравнения перпендикулярной и параллельной прямых, проходящей через точку
М (3; -1; 2) вектору AB.


Составим каноническое уравнение прямой

(x - xa) / (xb - xa) = (y - ya) / (yb - ya) = (z - za) / (zb - za)

Направляющий вектор n (xb - xa; yb - ya; zb - za)

А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1).
Направляющий вектор n для прямой AB:
n(2+1; -3-2; 1-3)
n(3; -5; -2)

М (3; -1; 2)
Пусть есть некая точка Rn имеющая координаты (x,y,z)
Направляющий вектор для прямой MRn:
t(x-3; y+1; z-2)

Скалярное произведение перпендикулярных прямых MR₁ и AB равно нулю.
MR·AB=3(x-3)-1(y+1)+2(z-2)=0

Уравнение перпендикулярных прямых MR₁ и AB: 3x+2z-y=14

Скалярное произведение параллельных прямых MR₂ и AB равно 1.

Уравнение параллельных прямых MR₂ и AB: 3x+2z-y=15
Гость
19.12.2014, 20:30, Пятница | Сообщение 260
найдите сумму координат вершины С параллелограмма ABCD, если известно, что А(-5;2:8). вектор АВ(-3;4;1) u BD(-2;4;1)
Гость
26.02.2015, 16:00, Четверг | Сообщение 261
Найдите координаты точки Д,одной из вершин трапеций АВСД,если А(0;8),В(6;7),С(8;1) и верхнее основание ВС в 2раза короче нижнего АД
срочно,заранее спасибо))
Гость
02.10.2015, 18:44, Пятница | Сообщение 262
Как такое решать?
Дано a={-1,3,0} b={2,1,-1} Вычислить:
1) скалярное произведение (a+2b, b-2a)
2) длину вектора |a-2b|
Артем Offline Администрация
02.10.2015, 21:31, Пятница | Сообщение 263
Цитата Гость ()
Дано a={-1,3,0} b={2,1,-1} Вычислить:1) скалярное произведение (a+2b, b-2a)
2) длину вектора |a-2b|

1) а+2b - типичное сложение двух векторов, притом вектор b нужно умножить на число 2, это делается просто:

c=2b = {2*2, 1*2, -1*2} = {4,2,-2}

Сложение векторов: a + с = {ax + сx; ay + сy; az + сz} = {(-1) + 4; 3 + 2; 0 + (-2)} = {3; 5; -2}

Разность векторов: b-2a
d=2a={-2,6,0}

b - d = {bx - dx; by - dy; bz - dz} = {2 - (-2); (-1) - 6; 1 - 0} = {4; -7; 1}

Теперь у нас есть два вектора m{3; 5; -2} и n{4; -7; 1} нужно найти их скалярное произведение:

m· n = mx · nx + my · ny + mz · nz = 3 · 4 + 5 · (-7) + (-2) · 1 = 12 - 35 - 2 = -25

Итак все решается просто, главное запомнить формулы суммы и разности векторов, а также формулу нахождения скалярного произведения.

2) Длина вектора находится также по формуле, для начала найдем чему равна разность векторов a-2b

s=a-2b=a-c={ax - cx; ay - cy; az - cz} = {(-1) - 4; 3 - 2; 0 - (-2)} = {-5; 1; 2}

Длина вектора s равна: √(sx2 + sy2 + sz2) = √(25+1+4)=√30
Гость
05.10.2016, 20:56, Среда | Сообщение 264
что можно сказать о точках A,B и C если выполняется равенство 1) вектор AB= вектору 0; 2)вектор AB = вектор BA;3)вектор AC= векторBC;4)вектор CA = вектор CB помогите пожалуйста
Артем Offline Администрация
06.10.2016, 20:11, Четверг | Сообщение 265
Цитата Гость ()
что можно сказать о точках A,B и C если выполняется равенство 1) вектор AB= вектору 0; 2)вектор AB = вектор BA;3)вектор AC= векторBC;4)вектор CA = вектор CB помогите пожалуйста
Это равнобедренный треугольник
Гость
16.10.2016, 12:03, Воскресенье | Сообщение 266
Помогите пожалуйста. Постройте Векторы a+p-c=k
Гость
22.11.2016, 12:29, Вторник | Сообщение 267
В треугольнике АВС известны стороны АВ=с, АС=в и величина угла А,заключенного между ними. Проведена медиана АМ. Найти величину угла ВАМ. Не могу сообразить, как без координат решать подобные задачи?
Понятно, что вектор АМ=(1/2)*(АВ+АС) и Cos(ВАМ)=с*m(вектора)/|c|*|m|. Как найти скалярное произведение с*m и модуль вектора m?
c*m=(1/2)c(c+b) ? Помогите, пожалуйста, подтолкните в нужную сторону.
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Векторы, операции с векторами. (Все задачи на векторы, решение бесплатно!)
Страница 9 из 9«12789
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: