   | |
| Модератор форума: Bukashka, noka |
| Форум "Казахстан и образование"Математика геометрия Ученический форум Математика Векторы, операции с векторами. (Все задачи на векторы, решение бесплатно!) |
| Векторы, операции с векторами. |
|
15.10.2014, 20:12, Среда | Сообщение 241
Цитата Гость 2 (  ) Помогите пожалуйста решить. В параллелограме ABCD: векторы AB(2;-10;1), AD(5;8;-2), и точка A(1;2;-1). Тогда сумма координат точки C равна ____.  Для начала применим правило сложения векторов методом параллелограмма: Пусть вектор AB(x₁; y₁; z₁), а AD(x₂; y₂; z₂), тогда координаты вектора AC в параллелограмме ABCD равны: AC (x₁+x₂; y₁+y₂; z₁+z₂) AC (2+5; -10+8; 1+(-2)) Вектор AC (7; -2; -1) Зная вектор AC(x₃; y₃; z₃) и точку A(xa; ya; za), найдем точку C(x₃+xa; y₃+ya; z₃+za) C (7+1; -2+2; -1+(-1)) Ответ C (8; 0; -2) |
|
15.10.2014, 20:24, Среда | Сообщение 242
Цитата Аниме123 ( )Здравствуйте! Пожалуйста, помогите с решением: Даны точки Р(2,-2) Q(4,0) R(0,4) 1) РT- медиана треугольника PQR. Найдите координаты вектора PT 2) Найдите |2PQ+QR| 3) Найдите угол PQR  1) Медиана делит сторону RQ пополам, зная координаты точек P(x₁; y₁; z₁) и Q(x₂; y₂; z₂), координаты точки лежащей посередине между ними будут равны: T ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) T ((4+0)/2; (0+4)/2) T (2; 2) Координаты вектора PT (из теории, чтобы найти координаты вектора по двум точкам, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. PT (xT-xP; yT-yP) Отсюда вектор PT равен: PT (2-2; 2-(-2)) ⇒ PT (0;4) 2) Запись |2PQ+QR| говорит о том, что нужно найти модуль вектора полученный в результате суммы удвоенного вектора PQ и QR, для решения сначала найдем вектора PQ и QR как в первом пункте: PQ (4-2; 0-(-2)) ⇒ PQ (2; 2) 2PQ (4; 4) QR (0-4; 4-0) ⇒ QR (-4; 4) Сумма векторов 2PQ и QR равна вектору h: h (2+(-4); 2+4) ⇒ h (-2; 6) Модуль вектора h (x, y) найдется по формуле: |h| = √(x²+y²) Тогда ответ: |2PQ+QR| = √((-2)² + (6)²) = √40 3) Угол PQR между векторами QP(x₁; y₁) и QR(x₂; y₂) можно вычислить по формуле: cos(∠PQR) = (QP * QR) / ( |QP| * |QR| ) Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов. Для начала найдем вектор QP: QP (2-4; -2-0) ⇒ QR (-2; -2) QR (-4; 4) {Уже находили в прошлом задании} Скалярное произведение векторов QP(x₁; y₁) и QR(x₂; y₂) дает выражение: QP * QR = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ = -2*-4 + -2*4 = 0 Раз скалярное произведение векторов равно 0, значит cos(∠PQR)=0 ∠PQR отсюда равен 90 градусов. |
Гость
15.10.2014, 20:39, Среда | Сообщение 243
Помогите решить, пожалуйста . Дано: вектор AB=a+2b,вектор BC=-4a-b,вектор CD=-5a-3b.Доказать,что ABCD-трапеция
|
|
16.10.2014, 04:03, Четверг | Сообщение 244
Цитата Аниме123 ( )В треугольнике КМН угол К 45 градусов, КМ=МН, КН=8 см. Медиана МR и КР пересекаются в точке О 1) Выразите векторы ОМ и ОР через вектор а=вектору КR и вектор в=вектору КМ 2) Найдите |ОR| и |МР|  Треугольник равнобедренный, следовательно MR является и высотой и медианой. Медиана соединяет вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. Что нужно знать о медиане: - Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. - Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. - Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников 1) Если заданы два неколлерианых вектора a и b (они называются базисными), через них можно выразить все остальные вектора на этой плоскости.  По теореме медиан, для сонаправленных и коллинеарных векторов RM и OM запишем соотношение OM/RM = 2/3 ⇒ OM=(2/3)*RM Разложим вектор OM по векторам КR и KM Векторно: KR+RM=KM ⇒ RM=KM-KR Подставляя в соотношение: OM=(2/3)*(KM-KR) Получим ответ: OM=(2/3)(a-в)  По теореме медиан, для сонаправленных и коллинеарных векторов KP и OP, соотношение примет вид: OP/KP = 1/3 ⇒ OP=(1/3)*KP Разложим вектор OP по векторам КR и KM Для этого достроим треугольник до параллелограмма KD=KM+KN KN=2*KR ⇒ KD=KM+2*KR = 2a+b KP=(1/2) * KD = (1/2) *2a+b = a+(b/2) Подставляем KP: OP=(1/3)*KP = OP=(1/3)* (a+(b/2)) = (a/3) + (b/6) Ответ: OP = (1/3)*a + (1/6)*b 2) |OR| = (1/3)*|RM| |RM|=|KR| |OR|=4/3 |MP|=|MN|/2 |KM|=|MN|=4√2 (По теореме Пифагора) |MP|=2√2 |
|
16.10.2014, 14:11, Четверг | Сообщение 245
Цитата Гость ( )Помогите решить, пожалуйста . Дано: вектор AB=a+2b,вектор BC=-4a-b,вектор CD=-5a-3b.Доказать,что ABCD-трапеция  Вектор DA равен сумме векторов AB, BC и CD DA=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b Нормаль вектор DA (-8;-2) Нормаль вектор BC (-4;-1) -8 / -4 = -2 / -1 Условие выполняется, векторы DA и BC параллельные, ABCD является трапецией. |
ГостьяА
26.10.2014, 14:07, Воскресенье | Сообщение 246
Пожалуйста помогите решить задачу! В параллелограмме ABCD дано: АВ=2а-b, AD=а+3b, |а|=3, |b|=2, угол между векторами а и b=60 градусов.Найдите длины отрезков АС и ВD.
|
|
27.10.2014, 21:11, Понедельник | Сообщение 247
Цитата ГостьяА ( ) Пожалуйста помогите решить задачу! В параллелограмме ABCD дано: АВ=2а-b, AD=а+3b, |а|=3, |b|=2, угол между векторами а и b=60 градусов.Найдите длины отрезков АС и ВD.  Вектор AC равен сумме векторов AB и AD: AC = AB + AD = 2a-b + a+3b = 3a+2b Вектор BD равен разности векторов AD и AB: BD = AD - AB = a+3b - (2a-b) = 4b-a Для вектора AC: |AC|²=AC²=(3a+2b)(3a+2b)=9a²+12ab+4b² |a|²=a²=3²=9 |b|²=b²=2²=4 a·b=|a|*|b|*cos60=2*3/2=3 AC²=9*9+12*3+4*4=133 AC=√133 Для вектора BD: |BD|²=BD²=(4b-a)(4b-a)=a²-8ab+16b² BD²=9-8*3+16*4=49 BD=7 |
Гость
30.10.2014, 01:10, Четверг | Сообщение 248
Вектор a , перпендикулярный к вектору в={8;-15;3} и оси OZ, образует с осью OY острый угол, зная что |a|=51, найти его координаты.(желательно подробно)
|
|
30.10.2014, 21:46, Четверг | Сообщение 249
Цитата Гость ( ) Вектор a , перпендикулярный к вектору в={8;-15;3} и оси OZ, образует с осью OY острый угол, зная что |a|=51, найти его координаты.(желательно подробно) Векторы являются перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю. Пусть вектор имеет координаты: a (x,y,z), раз в условии сказано что вектор a перпендикулярен оси OZ, можно записать координаты вектора a (x,y,0) Согласно первому условию о перпендикулярности векторов a и b получим первое уравнение: 8x-15y+3z=0, т.к. z=0 уравнение примет вид: 8x-15y=0 ⇒ x=15y/8 В условии известен модуль вектора a, равный 51: √(x²+y²+z²)=51, т.к. z=0 уравнение примет вид: √(x²+y²)=51 Запишем систему уравнений из двух неизвестных: x=15y/8 √(x²+y²)=51 Отсюда найдем корни уравнения: x₁=-45, y₁=-24, x₂=45, x₂=24 У нас получилось два ответа, но в условии сказано что угол острый с OY, это говорит о том что y>0, следовательно подходит второй ответ, вектор a(45,24,0) Можете проверить, через скалярное произведение: a·b = 45⋅8+24⋅(−15)+0⋅3=0 (Векторы перпендикулярны) Также для оси OZ направляющий вектор будет равен вектору c (0,0,1) a·c =45⋅0+24⋅0+0⋅1=0 (Векторы перпендикулярны) Надеюсь понятно объяснил) |
Гость
04.11.2014, 16:51, Вторник | Сообщение 250
Помогите пожалуйста. Если векторы AB и СD коллинеарны, то: а) ABвектор = СDвектор б) АBвектор= k·СDвектор в)|АB|вектор=|CD|вектор |
|
04.11.2014, 19:54, Вторник | Сообщение 251
Цитата Гость ( )Если векторы AB и СD коллинеарны, то: а) ABвектор = СDвектор б) АBвектор= k·СDвектор в)|АB|вектор=|CD|вектор Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами. Следовательно утверждение а, в ложно, б истина. Ответ б) |
Гость
09.11.2014, 15:39, Воскресенье | Сообщение 252
Вектор a=3m-2n+6p, где m, n, и p-взаимно перпендикулярные векторы, |m|=2, |n|=1, |p|=3. Найти |a| и углы, которые вектор а образует с каждым из векторов m, n, p.(c пояснениями пожалуйста)
|
Гость
09.11.2014, 15:48, Воскресенье | Сообщение 253
Векторы а, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=0(вектор). Доказать, что [a,b]=[b,c]=[c,a]. Пользуясь геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов, пояснить полученный результат.(помогите, подробно)
|
|
09.11.2014, 22:49, Воскресенье | Сообщение 254
Цитата Гость ( ) Вектор a=3m-2n+6p, где m, n, и p-взаимно перпендикулярные векторы, |m|=2, |n|=1, |p|=3. Найти |a| и углы, которые вектор а образует с каждым из векторов m, n, p.(c пояснениями пожалуйста)  Взаимно перпендикулярные векторы представляют собой векторы, лежащие на осях OX, OY, OZ: Достроим вектор m до вектора 3m, вектор n до вектора 2n, вектор p до 6p, как изображено на Разность векторов 3m-2n равна вектору d Затем вектор d перенесем к вектору 6p и найдем сумму векторов d+6p=a Это для того, чтобы вы поняли как происходит получение вектора a. Так как векторы 3m, 2n, 6p начинаются с точки O (0,0,0) можно найти координаты этих векторов: Для этого от координат конца вектора, отнимем 0 и получим сам вектор: 3m = (6,0,0) 2n = (0,0,2) 6p = (0,18,0) В результате вычислений вектор a имеет вид: (6;18;-2) Остается применить формулу: sinα=a·b / |a|*|b| Тогда угол между векторами a(6;18;-2) и m (2;0;0) равен: |a| = √(6²+18²+(-2)²)=2√91 a·m = 6*2 + 18*0 + (-2)*0=12 sinα=12 / (2√91 * 2) = 3 / √91 Между векторами a(6;18;-2) и n (0;0;1) равен: a·n = 6*0 + 18*0 + (-2)*1=-2 sinβ=-2 / (2√91 * 1) = -1 / √91 Между векторами a(6;18;-2) и p(0;3;0) равен: a·m = 6*0 + 18*3 + (-2)*0=12 sinγ=54 / (2√91 * 3)= 9 / √91 |
|
11.11.2014, 10:21, Вторник | Сообщение 255
Цитата Гость ( )Векторы а, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=0(вектор). Доказать, что [a,b]=[b,c]=[c,a]. Пользуясь геометрическим смыслом длины векторного произведения векторов, пояснить полученный результат.(помогите, подробно) Сумма трех векторов равна нулю, следовательно это треугольник, это легко проверить по координатам. [a·b] - векторное произведение [a·b] = |a| * |b| * sin(a^b) [b·c] = |b| * |c| * sin(b^c) [a·c] = |a| * |c| * sin(a^c)  Геометрический смысл в том, что площадь треугольника ABC равна: SABC=(1/2) * AB * BC * sinα =(1/2) * BC * CA * sinβ =(1/2) * CA * AB * sinγ AB=|a|, BC=|b|, CA=|c| Векторное произведение двух векторов равно удвоенной площади треугольника построенных на этих векторах. Или: [a·b] = [b·c] = [a·c] = 2*SABC |
Артём
16.11.2014, 22:06, Воскресенье | Сообщение 256
помогите пожалуйста Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-5:-1), B(-2;-5), C(-2;-1). Найти 1) уравнения сторон; уравнение высоты, опущенной и вершины С; 3)уравнение медианы к стороне АС; угол А. |
|
17.11.2014, 06:19, Понедельник | Сообщение 257
Цитата Артём ( ) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-5:-1), B(-2;-5), C(-2;-1). Найти 1) уравнения сторон; уравнение высоты, опущенной и вершины С; 3)уравнение медианы к стороне АС; угол А. Уравнение прямой по двум точкам: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) (x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁) Тогда уравнение прямой AB: (x + 5) / (-2 + 5) = (y + 1) / (-5 + 1) (x + 5) / (3) = (y + 1) / (-4) -4x-20 = 3y+3 y=(-4x-23)/3 Также составляются и уравнения для прямых BC, CA. Уравнение высоты в треугольнике. Так как высота из вершины C падает на сторону AB, всё что нужно найти уравнение прямой перпендикулярной AB и проходящей через точку С. Угловой коэффициент перпендикулярных прямых можно записать по формуле: k₁=-1/k₂ k₁ - угловой коэффициент прямой AB k₂ - угловой коэффициент прямой перпендикулярной AB Если прямая задана уравнением y=kx+b, то угловой коэффициент равен k Для прямой AB угловой коэффициент равен (-4/3) Тогда угловой коэффициент перпендикуляра CS проведенного из точки С на AB равен (3/4) Общее уравнение для прямой перпендикулярной AB примет вид: y=(3/4)x+b Остается теперь найти b, для этого подставим координаты точки C(x,y) C(-2;-1) -1=-2*(3/4)+b b=-1 + (6/4) = -1+1.5=0.5=1/2 Тогда общее уравнение прямой из точки C перпендикулярной AB имеет вид: y=(3/4)x+(1/2) Уравнение медианы по координатам треугольника Медиана в треугольнике прямая из вершины на середину противоположенной стороны. В условии требуется найти медиану к стороне AC, пусть точка S делящая AC пополам имеет координаты: A(x₁,y₁), C(x₂,y₂) S ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) S ((-5-2)/2; (-1-1)/2) S (-7/2; -1) Теперь остается составить уравнение прямой по двум точкам B и S, а это мы уже умеем. |
Гость
03.12.2014, 14:32, Среда | Сообщение 258
Даны точки А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1). Составить уравнения перпендикулярной и параллельной прямой, проходящей через точку М (3; -1; 2) вектору AB. |
|
03.12.2014, 15:01, Среда | Сообщение 259
Цитата Гость ( )Даны точки А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1). Составить уравнения перпендикулярной и параллельной прямых, проходящей через точку М (3; -1; 2) вектору AB. Составим каноническое уравнение прямой (x - xa) / (xb - xa) = (y - ya) / (yb - ya) = (z - za) / (zb - za) Направляющий вектор n (xb - xa; yb - ya; zb - za) А (-1; 2; 3) и В (2; -3; 1). Направляющий вектор n для прямой AB: n(2+1; -3-2; 1-3) n(3; -5; -2) М (3; -1; 2) Пусть есть некая точка Rn имеющая координаты (x,y,z) Направляющий вектор для прямой MRn: t(x-3; y+1; z-2) Скалярное произведение перпендикулярных прямых MR₁ и AB равно нулю. MR·AB=3(x-3)-1(y+1)+2(z-2)=0 Уравнение перпендикулярных прямых MR₁ и AB: 3x+2z-y=14 Скалярное произведение параллельных прямых MR₂ и AB равно 1. Уравнение параллельных прямых MR₂ и AB: 3x+2z-y=15 |
Гость
19.12.2014, 20:30, Пятница | Сообщение 260
найдите сумму координат вершины С параллелограмма ABCD, если известно, что А(-5;2:8). вектор АВ(-3;4;1) u BD(-2;4;1)
|
Гость
26.02.2015, 16:00, Четверг | Сообщение 261
Найдите координаты точки Д,одной из вершин трапеций АВСД,если А(0;8),В(6;7),С(8;1) и верхнее основание ВС в 2раза короче нижнего АД срочно,заранее спасибо)) |
Гость
02.10.2015, 18:44, Пятница | Сообщение 262
Как такое решать? Дано a={-1,3,0} b={2,1,-1} Вычислить: 1) скалярное произведение (a+2b, b-2a) 2) длину вектора |a-2b| |
|
02.10.2015, 21:31, Пятница | Сообщение 263
Цитата Гость (  )Дано a={-1,3,0} b={2,1,-1} Вычислить:1) скалярное произведение (a+2b, b-2a) 2) длину вектора |a-2b| 1) а+2b - типичное сложение двух векторов, притом вектор b нужно умножить на число 2, это делается просто: c=2b = {2*2, 1*2, -1*2} = {4,2,-2} Сложение векторов: a + с = {ax + сx; ay + сy; az + сz} = {(-1) + 4; 3 + 2; 0 + (-2)} = {3; 5; -2} Разность векторов: b-2a d=2a={-2,6,0} b - d = {bx - dx; by - dy; bz - dz} = {2 - (-2); (-1) - 6; 1 - 0} = {4; -7; 1} Теперь у нас есть два вектора m{3; 5; -2} и n{4; -7; 1} нужно найти их скалярное произведение: m· n = mx · nx + my · ny + mz · nz = 3 · 4 + 5 · (-7) + (-2) · 1 = 12 - 35 - 2 = -25 Итак все решается просто, главное запомнить формулы суммы и разности векторов, а также формулу нахождения скалярного произведения. 2) Длина вектора находится также по формуле, для начала найдем чему равна разность векторов a-2b s=a-2b=a-c={ax - cx; ay - cy; az - cz} = {(-1) - 4; 3 - 2; 0 - (-2)} = {-5; 1; 2} Длина вектора s равна: √(sx2 + sy2 + sz2) = √(25+1+4)=√30 |
Гость
05.10.2016, 20:56, Среда | Сообщение 264
что можно сказать о точках A,B и C если выполняется равенство 1) вектор AB= вектору 0; 2)вектор AB = вектор BA;3)вектор AC= векторBC;4)вектор CA = вектор CB помогите пожалуйста
|
|
06.10.2016, 20:11, Четверг | Сообщение 265
Цитата Гость ( )что можно сказать о точках A,B и C если выполняется равенство 1) вектор AB= вектору 0; 2)вектор AB = вектор BA;3)вектор AC= векторBC;4)вектор CA = вектор CB помогите пожалуйста |
Гость
16.10.2016, 12:03, Воскресенье | Сообщение 266
Помогите пожалуйста. Постройте Векторы a+p-c=k
|
Гость
22.11.2016, 12:29, Вторник | Сообщение 267
В треугольнике АВС известны стороны АВ=с, АС=в и величина угла А,заключенного между ними. Проведена медиана АМ. Найти величину угла ВАМ. Не могу сообразить, как без координат решать подобные задачи? Понятно, что вектор АМ=(1/2)*(АВ+АС) и Cos(ВАМ)=с*m(вектора)/|c|*|m|. Как найти скалярное произведение с*m и модуль вектора m? c*m=(1/2)c(c+b) ? Помогите, пожалуйста, подтолкните в нужную сторону. |
Гость
07.05.2017, 05:23, Воскресенье | Сообщение 268
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу:Даны вектора a=(2;-1),b=(0;7). Найдите вектор x=(x1;x2),если известно:x×a=-3, x×b=1. |
Гость
08.05.2017, 22:52, Понедельник | Сообщение 269
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу:|a|=4 , |b|=3 , (a^b)=pi/6 ; c=[(2*a+b)(2*a-b)] |c|=? |
Гость
06.11.2017, 23:52, Понедельник | Сообщение 270
a(3;2;1)b(-1:0:3) c(4:1;-2) найти bc;ca |
Администрация
| |||
