Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 1 из 912389»
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Векторы, операции с векторами. (Все задачи на векторы, решение бесплатно!)
Векторы, операции с векторами.
Артем Offline Администрация
01.11.2011, 22:25, Вторник | Сообщение 1
Начнем с теории. Вектором называется направленный отрезок.

Векторы могут быть в плоскости или в пространстве, для удобства я сначала напишу все действия над векторами в плоскости.

Итак мы имеем вектор a(x1;y1) и вектор b(x2;y2)

Сложение векторов : a+b=(x1+x2;y1+y2)
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2)
Умножение вектора на число: pa=(px1;py1), где p - любое число.
Скалярное произведение: (a,b)=x1•x2+y1•y2
Модуль или длина вектора: |a|=√(x12+y12)
Угол α между вектором a и b: cosα=(x1•x2+y1•y2)/[√(x12+y12) * √(x22+y22)]

Скалярное произведение можно записать еще как: a•b=|a|•|b|*cosα

Забыл еще добавить. Даны две точки, как найти вектор?

Точка A(a1;b1); и точка B(a2;b2)

Вектор AB(a2-a1;b2-b1)

Думаю все, теперь к практике!
Артем Offline Администрация
01.11.2011, 22:32, Вторник | Сообщение 2
Вычислите: (a+2b-c)2, если a(-3;4;0); b(4;0;3); c(0;-3;-4)

Как я уже говорил векторы могут быть на плоскости и в пространстве. В нашем случае вектора заданы в пространстве, потому что как вы видите добавилась третья цифра в координатах, она отвечает за положение на оси Z.

Решается по аналогии:

2b=(4*2;0*2;3*2)=(8;0;6)

a+2b=(-3+8;4+0;0+6)=(5;4;6)

a+2b-c=d=(5-0;4+3;6+4)=(5;7;10)

Чтобы возвести в квадрат нужно найти модуль вектора a+2b-c, назовем его d.

|d|=√(x2+y2]+z2) = √(25+49+100)=√174

Возведем в квадрат, ответ будет: 174
Артем Offline Администрация
01.11.2011, 22:37, Вторник | Сообщение 3
Найдите координаты начала вектора a{2;-3;-1}, если концом является точка B (1;-1;2)

Смотрим на правило! Исходя из него:

1-x=2
-1-y=-3
2-z=-1

x,y,z - координаты точки A.

A(-1;2;3)
Сявик Offline Друзья сайта
Сообщений (204) Репутация (257) Награды (2)
01.11.2011, 22:52, Вторник | Сообщение 4
хм, раз тут такая тема)) Артем, объясни пожалуйста, как тут поступать)
Найти |a|, если |b|=7, |a+b|=12, и |a-b|=14.........где a и b - это вектора)
Артем Offline Администрация
02.11.2011, 00:07, Среда | Сообщение 5
Quote (Сявик)
Найти |a|, если |b|=7, |a+b|=12, и |a-b|=14


Ну в каждом объяснении есть свои недоделки, вот одна из них! Я совсем забыл рассказать про практический смысл векторов, их сложении и т.д.

Итак сложение векторов наглядно по правилу треугольника, главное чтобы начало второго вектора совпадало с концом первого, как на рисунке:



Теперь такое же сложение но уже по правилу параллелограмма, тут начала векторов совпадают.



Собственно одно и то же просто по разным правилам. Теперь также расскажу о вычитании:

Вычитание векторов можно получить простым методом:

a-b=a+(-b)

А это значит что нужно всего лишь вектор b перевернуть!



А вот тоже самое по правилу параллелограмма.



Теперь о том что такое модуль?

Я не сказал что модуль - это ничто иное как длина вектора.

Теперь к твоему заданию, его просто решить используя метод параллелограмма.



Получается что |a+b|=12, и |a-b|=14 ничто иное, как диагонали данного параллелограмма.

Запишем вот такое отношение диагоналей и сторон:

d12+d22=2(a2+b2)

122+142=2(a2+72)
340=2(a2+49)
a2=170-49
a2=121
a=11
Прикрепления: 1339290.jpg(5Kb) · 4188113.jpg(7Kb) · 6946072.jpg(4Kb) · 9780833.jpg(6Kb) · 3754200.jpg(9Kb)
Артем Offline Администрация
02.11.2011, 00:31, Среда | Сообщение 6
Quote
Ромб ABCD с вершинами A(-2;5), B(2;x), C(x;-3) и D(-x;0). Определить значение числа X и периметр ромба.


Для начала найдем вектор CD: {-x-x;0+3}=CD{-2x;3}

Теперь найдем вектор AB{4;x-5}

Зная что AB=CD в ромбе ABCD, мы можем найти модуль вектора и приравнять обе части.

|CD|=√(4x2+9)
|AB|=√(16+x2-10x+25)

|AB|=|CD|

4x2+9=x2-10x+41
3x2+10x-32=0
x = 2, там еще получится отрицательное число но нам оно не нужно.

Найдем длину стороны CD: √(4*22+9)=5

Отсюда периметр равен 20 см.
Артем Offline Администрация
02.11.2011, 22:36, Среда | Сообщение 7
Найдите центр тяжести треугольника ABC, если его вершины A(-4;10), B(2;8), C(-4;-6).

Центром тяжести называется точка пересечения медиан треугольника. Эта точка делит каждую медиану в соотношении 1 к 2, если считать от стороны.



Координаты точки пересечения медиан находятся простым способом, его просто нужно запомнить!

O((x1+x2+x3)/3; (y1+y2+y3)/3 ; (z1+z2+z3)/3)

-4+2-4=-6/3=-2
10+8-6=12/3=4

O(-2;4)
Прикрепления: 5412163.png(5Kb)
tanashka Offline Студенты
Сообщений (36) Репутация (8) Награды (0)
07.11.2011, 01:51, Понедельник | Сообщение 8
всем привет! помогите с задачкой) Если векторы а и в составляют угол 30градусов и скалярное произведение ав=√3, то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах , равна...? заранее спасибо! кстати эти векторы единичные)
Артем Offline Администрация
07.11.2011, 03:13, Понедельник | Сообщение 9
Quote (tanashka)
всем привет! помогите с задачкой) Если векторы а и в составляют угол 30градусов и скалярное произведение ав=√3, то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах , равна...? заранее спасибо! кстати эти векторы единичные)


Скалярное произведение.

A*B=|A||B|*cosα
|A| - длина вектора A (векторы =>)
|B| - длина вектора B
|A||B|=A*B/cosα
Чему равна площадь параллелограмма?

Sпар=a*b*sinα (a,b в данном случае рассматриваю как стороны)

Подставим |A||B|

Sпар=A*B*sinα/cosα

ав=√3
sin30=0.5
cos30=√3/2

0.5*√3 / (√3/2) = √3/√3=1
Сявик Offline Друзья сайта
Сообщений (204) Репутация (257) Награды (2)
07.11.2011, 11:46, Понедельник | Сообщение 10
Артем будь добр, помоги с этой задачей..что-то не понял как ее решать)
Под каким углом располагаются векторы а( р;√(2)/4 ) и b(-8;-1), если их скалярное произведение равно - 65√(2)/4
И варианты ответов, углы: 180, 150, 60, 120, 90...
Спс заранее)
Артем Offline Администрация
07.11.2011, 13:41, Понедельник | Сообщение 11
Quote (Сявик)
а( р;√(2)/4 )


прости а тут p - это пи? или это неизвестная переменная?
Сявик Offline Друзья сайта
Сообщений (204) Репутация (257) Награды (2)
07.11.2011, 15:52, Понедельник | Сообщение 12
Артем, да я сам понять не могу...в тестнике так же написано) мне кажется что неизвестная.... Они обычно в тестниках пи другим значком обозначают)

Добавлено (07.11.2011, 14:52)
---------------------------------------------
если у тебя тестник есть - то задание 25 вариант 17)

ROmazan Offline Студенты
07.11.2011, 16:18, Понедельник | Сообщение 13
Сявик,

Добавлено (07.11.2011, 15:18)
---------------------------------------------
после формул запись, она относится к первой формуле, если быстроват переход. ну, вроде подробно полюбому
Прикрепления: 8422029.jpg(107Kb)
tanashka Offline Студенты
Сообщений (36) Репутация (8) Награды (0)
08.11.2011, 01:28, Вторник | Сообщение 14
Артем, большое спасибо!
Сявик Offline Друзья сайта
Сообщений (204) Репутация (257) Награды (2)
17.11.2011, 14:38, Четверг | Сообщение 15
Помогите с вот этим вот заданием, что-то вообще не понял чего от меня хотят))
Чему равна сумма векторов СВ +AC + BE + DB + CD + BA + EC
A) AD
cool CE
D) CA
C) DA
E) O
Артем Offline Администрация
17.11.2011, 17:01, Четверг | Сообщение 16
Quote (Сявик)
Чему равна сумма векторов СВ +AC + BE + DB + CD + BA + EC


Известно, что если складывать вектор MP+PO в результате получится вектор MO. То есть записывается точка начала первого вектора, затем точка конца второго. Все просто!

CB+BE+AC+CD+DB+BA+EC - Я тут немного поменял местами, вель от перестановки слагаемых сумма не меняется

ВЫделенные векторы сложим между собой по правилу.

CE+AD+DA+EC=CE+EC+AD+DA - получается что у нас выходит две точки. Но это не вектор а значит сумма равна 0. То есть запомни если MP+PM=0
Гость
21.12.2011, 00:49, Среда | Сообщение 17
Друзья помогите пожалуйста - Операция над векторами на плоскости
Артем Offline Администрация
21.12.2011, 12:04, Среда | Сообщение 18
Гость, http://www.testent.ru/forum/6-783-15303-16-1320167221
Гость
09.01.2012, 15:44, Понедельник | Сообщение 19
Ромб задан вершинами А(0;3) В(3;1) С(4;-1) Д(1;-1).Найти точку пересечения его диагоналей.Помогите решить,пожалуйста!
Гость
09.01.2012, 16:15, Понедельник | Сообщение 20
Ромб задан вершинами А(0;3) В(3;1) С(4;-1) Д(1;-1).Найти точку пересечения его диагоналей.Помогите решить,пожалуйста!

Думаю проще простого.

AC диагональ, пересекаются диагонали и делят пополам АС. Значит нужно найти координаты точки которая лежит между точками A и C

(a+c)/2=((x1+x3)/2;(y1+y3)/2)

O(2;1)
Гость
09.01.2012, 16:26, Понедельник | Сообщение 21
не очень понятно как найдены координаты О
Гость
09.01.2012, 17:52, Понедельник | Сообщение 22
Тут все просто. А(0;3) В(3;1) С(4;-1) Д(1;-1).

А(0;3) и С(4;-1) нужно найти центр.

(0+4)/2=2
[3+(-1)]/2=1
Nurgul0703 Offline Студенты
Сообщений (10) Репутация (0) Награды (0)
09.01.2012, 18:48, Понедельник | Сообщение 23
Помогите пожалуйста,не могу понять как делать
Найти x и y, при которых вектор а{3;-1;4} и b{-4;y;x} коллинеарны
Артем Offline Администрация
09.01.2012, 19:00, Понедельник | Сообщение 24
Quote (Nurgul0703)
Найти x и y, при которых вектор а{3;-1;4} и b{-4;y;x} коллинеарны


Коллинеарность векторов нет ничего проще.

Должно выполняться равенство в случае коллинеарности:

3/-4 = -1 /y

Отсюда найдем y= 4/3

Также поступим с x:

3/-4=4/x

Найдем x=-16/3
Nurgul0703 Offline Студенты
Сообщений (10) Репутация (0) Награды (0)
09.01.2012, 19:11, Понедельник | Сообщение 25
Артем, спасибо большое)
Гость
17.01.2012, 01:05, Вторник | Сообщение 26
Добрый вечер, помогите пожалуйста,не могу понять как решать.
Найти (в градусах) угол между координатной плоскостью Оху и прямой, проходящей через точки М(3;6;1), N(4;6;2). Заранее большое спасибо.
Гость
17.01.2012, 01:34, Вторник | Сообщение 27
a•b=|a|•|b|*cosα
Гость
17.01.2012, 01:43, Вторник | Сообщение 28
можно поподробнее расписать?
KoKeTkA Offline Друзья сайта
20.01.2012, 21:00, Пятница | Сообщение 29
при каком значении α векторы а(-1;4;α) и b(5;-1;α) образуют острый угол?
ДаЭтоЯ Offline Ученики
20.01.2012, 21:13, Пятница | Сообщение 30
нужно чтоб скалярное произведение было больше нуля.
меньше нуля- угол тупой, равен нулю-угол прямой

ав=-1*5+4*(-1)+а*а >0
-5-4+a^2 > 0
a^2 > 9
|a|>3
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Векторы, операции с векторами. (Все задачи на векторы, решение бесплатно!)
Страница 1 из 912389»
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: