Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 5 из 6«123456»
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Простейшие определенные интегралы и первообразные функции (Решение определенного интеграла и нахождение первообразной)
Простейшие определенные интегралы и первообразные функции
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 13:23, Четверг | Сообщение 121
Вычислите интеграл:

Для начала давайте раскроем скобки:

(x²+x)(x+2)=x³+x²+2x²+2x=x³+3x²+2x

Теперь найдем первообразную:

F(x)=(x⁴/4)+(3x³/3)+(2x²/2)=(x⁴/4)+x³+x²

Теперь подставляем верхнее значение интеграла в первообразную:

F(1)=(1/4)+1+1=2+(1/4)

Точно также с нижним значением:

F(-1)=(1/4)-1+1=(1/4)

Теперь нужно отнять первое от второго F(1) - F(-1) = 2+(1/4)-(1/4)=2

Тогда ответ такого интеграла будет равен 2
Прикрепления: 0344679.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 13:35, Четверг | Сообщение 122
Вычислите интеграл , где x≠0

Найдем первообразную от f(x)=(1/x)+x

F=lnx+(x²/2)

Найдем разницу значений верхнего и нижнего интервала:

F(2) - F(1) = ln2 + 2 - (ln1 + (1/2)) = ln2 + (3/2)

Объясняю ln1=0, раскрывая скобку, которую кстати обязательно нужно ставить, мы меняем знаки внутри на противоположные, следовательно от 2 отнимаем (1/2) получаем (3/2).

Смотрите дальше задания будут усложняться.
Прикрепления: 5426728.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 13:43, Четверг | Сообщение 123
Найдите все первообразные для функции f(x)=sinx * cosx

Сначала давайте по формуле двойного аргумента упростим данное выражение:

sin2x=2 * sinx * cosx ⇒ sinx * cosx = (1/2) * sin2x

Теперь найдем первообразную от f(x)=(1/2) * sin2x

F(x)= (1/2) * (1/2) * (-cos2x) = -(1/4) * cos2x

Теперь объясняю, выделенная (1/2) получилась потому что перед x стоит 2, обозначим ее как k, тогда общая формула:

f(x)=a*sinkx = (a/k) * (-coskx)

Окончательный ответ будет:

F(x)=-(1/4) * cos2x + С
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 13:55, Четверг | Сообщение 124
Вычислите интеграл:

Задача конечно простая, но в ней маленький подвох есть, обратите внимание, что перед x стоит знак минус, а это значит что если взять формулу:

f(x)=(a+kx)n
F(x)=(1/k) * ((a+kx)n+1) / (n+1) +С

При k=-1, первообразная поменяет знак
f(x)=(a-kx)n
F(x)=(-1/k)*((a-kx)n+1) / (n+1) +С

Тогда вычисляя наш интеграл получим:

F(x)=(-1)*(1-x)³ / 3 = -(1/3)* (1-x)³ +С

F(2) - F(0) = (1/3) - (-(1/3)) = 2/3

Надеюсь вопросов не будет)
Прикрепления: 7140018.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:04, Четверг | Сообщение 125
Найдите все первообразные для функции:

Разбираем по частям, чтобы проще было понять:

1) 7*cos(x/5) = 7*cos[(1/5)*x]
k=(1/5)
Значит первообразная будет равна:
7*5 * sin(x/5)

2) [2/(3x+1)] = 2 * [1/(3x+1)]
k=3
Найдем первообразную:
(2/3) * ln(3x+1)

Тогда ответ данного задания будет таким:

F(x)=35 * sin(x/5) - (2/3) * ln(3x+1) + С
Прикрепления: 4298330.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:18, Четверг | Сообщение 126
Вычислите интеграл:

Как вы видите тут можно упростить ,используя формулу разности аргументов:

cos(α±β)=cosα * cosβ ∓ sinα * sinβ

Используя данную формулу преобразуем подынтегральное выражение:

cos(2x+4x) = cos6x

Дальше у вас не должно быть проблем найти определенный интеграл:

F(x)=(1/6) * sin6x + С
F(π/12) - F(0) = (1/6) * [sin90 - sin0] = 1/6
Прикрепления: 5752261.png(2Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:26, Четверг | Сообщение 127
Вычислите интеграл:

Для решения такого интеграла, нужно сначала упростить дробь, для этого числитель почленно разделим на знаменатель.

(cos²x + 1) / cos²x = (cos²x / cos²x) + (1 / cos²x) = 1 + (1 / cos²x)

Теперь найти первообразную нам будет проще:

F(x)= x + tgx + С

F(π) - F(0) = π + tg180 - (0+tg0) = π
Прикрепления: 0214854.png(2Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:37, Четверг | Сообщение 128
Найдите все значения a, при которых выполняется условие:

Не стоит паниковать, когда вы видите такие задания. Они на самом деле решаются очень просто. Найдем первообразную:

f(x)=2x-5
F(x)=x²-5x+С

Теперь найдем значение интеграла, подставляя вместо верхнего числа букву a.

F(a) - F(0) = a²-5a - (0-0) = a²-5a

Полученное выражение записываем в виде неравенства:

a²-5a≤6
a²-5a-6≤0

Корни уравнения a²-5a-6=0 найдем a₁ = 6; a₂ = -1

На координатной прямой обозначим эти числа. Возьмем значение 0, которое находится между этими числами, подставим 0 в неравенство a²-5a-6≤0, знак будет отрицательным. Остальные знаки можно проставить чередуя, так как тут обычное квадратное уравнение.

Тогда ответ будет a∈[-1;6] , не забываем что скобочки квадратные, потому что включает в себя интервал этот.
Прикрепления: 8678014.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:41, Четверг | Сообщение 129
Для функции f(x)=(x-8)³ найдите первообразную, если F(8)=1.

Смысл таких заданий прост, нужно найти ту самую C которая постоянно является неизвестной при нахождении первообразной.

Запишем первообразную для функции f(x):

F(x)=((x-8)⁴ / 4)+C

Теперь согласно условию подставляем данные F(8)=1:

((8-8)⁴ / 4)+C = 1
C=1

Тогда частный вид первообразной:

F(x)=((x-8)⁴ / 4)+1
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 14:46, Четверг | Сообщение 130
Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=cos²3x - sin²3x

Давайте упростим вид нашей функции, используя формулу двойного аргумента:

cos2x=cos²x - sin²x

Тогда в нашем случае cos²3x - sin²3x примет вид cos6x

Найдем первообразную для функции f(x)=cos6x

F(x)= (1/6) * sin6x + C
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 17:07, Четверг | Сообщение 131
Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 4t³ + 2t - 3. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2 координата точки была равна 10

Вспоминаем, что первая производная от закона движения S(t), есть закон скорости точки v(t), вторая производная это закон ускорения точки a(t).

Чтобы найти общий закон движения S(t), найдем первообразную от функции v(t) = 4t³ + 2t - 3

S(t)=t⁴ + t² - 3t +C

Теперь подставим координаты, и найдем чему равно C:

2⁴ +2² - 3*2 +C = 10
С=10-14=-4

Тогда закон движения точки примет вид:

S(t)=t⁴ + t² - 3t - 4
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 17:19, Четверг | Сообщение 132
Найдите общий вид первообразной для функции:

Давайте упрощать условие [ (1/6) * x + 1 ]⁻⁷

Теперь по формуле точно также:
k=1/6, 1/k = 6

F(x)=6 * [ (x/6) + 1 ]⁻⁶ / -6 = - 1 / [(x/6) + 1]⁶
Прикрепления: 7041671.png(2Kb)
Артем Offline Администрация
13.02.2014, 18:15, Четверг | Сообщение 133
При каких значениях параметра a, значение интеграла не превосходит 3.

Первообразная функции f(x)=4-2x равна

F(x)=4x-x²

Подставляем значения интеграла:

F(a) - F(0) = 4a-a² - (0-0) = 4a-a²

Слово не превосходит означает меньше либо равно, так и запишем:

-a²+4a≤3
-a²+4a-3≤0
-a²+4a-3=0
a₁ = 1; a₂ = 3

Дальше начертим координатную прямую, обозначим точки, и расставим знаки, тогда ответ будет:

a∈(-∞;1] u [3;+∞)
Прикрепления: 9783679.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
20.02.2014, 11:44, Четверг | Сообщение 134
Точка движется вдоль прямой со скоростью . Найдите путь, пройденный точкой в промежутке времени [2,5].

Для того чтобы найти путь, зная закон скорости, нужно найти первообразную, а значит составляется определенный интеграл в интервале от 2 до 5.



Я сразу нашел первообразную, для тех кто не знает как так получилось с такой дробъю, объясняю:

Дробь 2/√(t-1) представим как 2*(t-1)-1/2

Дальше по формуле: 2*(t-1)-(1/2)+1/(-(1/2)+1) = 2*(t-1)1/2 / (1/2) = 4√(t-1)

Теперь найдем решение определенного интеграла:

F(5)-F(2)=20-8-(8-4)=12-4=8

Ответ: 8
Прикрепления: 8403021.png(1Kb) · 5472880.png(3Kb)
Артем Offline Администрация
20.02.2014, 11:50, Четверг | Сообщение 135
Вычислите интеграл:

Найдем первообразную от функции f(x):

F(x)=(1/3)*(3x+2)³ / 3=(3x+2)³ / 9

Подставим интервалы и найдем их разность:

F(0)-F(-1)=(2³/9)-((-1)³/9)=(8/9)-(-1/9)=(8/9)+(1/9)=1

Ответ: 1
Прикрепления: 4651202.png(1Kb)
Артем Offline Администрация
20.02.2014, 12:05, Четверг | Сообщение 136
Вычислите интеграл:

Для начала давайте преобразуем квадрат синуса по формуле:



Тогда наш интеграл примет вид:



Первообразная будет равна:



Решаем определенный интеграл:



Ответ: π
Прикрепления: 8904115.png(2Kb) · 9155383.png(1Kb) · 4861490.png(7Kb) · 3629079.png(2Kb) · 4599176.png(4Kb)
Артем Offline Администрация
20.02.2014, 18:29, Четверг | Сообщение 137
Вычислите интеграл:

Упростим:

(6√x)/x = 6/√x = 6*x-1/2

Найдем первообразную:

F(x)=6*x-(1/2)+1/(1/2)= 12√x

Найдем значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

F(4) - F(1) = 12*2 - 12 = 12
Прикрепления: 4989769.png(1Kb)
Гость
31.03.2014, 05:11, Понедельник | Сообщение 138
Помогите, пожалуйста, с решением задачи....Для функции f найти первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=2/x, M(1/e; 2)
Студент-Репетитор(Астана)
31.03.2014, 19:49, Понедельник | Сообщение 139
гость, пойми интеграл от функций f это совокупность бесконечных функций варьируемых постоянной С. тебе точка М и дано для того, чтобы остановить(найти конкретную функцию). интеграл ∫fdx=2lnx+C возьмем ∫fdx=F(x) ⇒ F(x)=2lnx+C
из условий видно, что F(1/e)=2 ⇒ 2=2*ln(1/e)+C ⇔ 2=-2 + C ((ln(1/e)=-1)) ⇒ C=4
⇒ F(x)=2lnx+4 - ответ
Эрика Offline Друзья сайта
02.04.2014, 01:41, Среда | Сообщение 140
Студент-Репетитор(Астана), Немного перегнул со словом варьируемый=))) Не все знают=))) Лучше объяснить так, находишь как обычно первообразную.
f(x)=2/x⇒F(x)=2lnx+C (ну там еще модуль, только вот не могу этих палочек найти, ну не суть важно).
Теперь еще точка М зачем-то есть. Даже не думайте, что ее написали для красоты. Раз есть, значит нужна. Ну даже надеюсь самый чайник вспомнит, что в точке М(1/e;2) первая точка это координата х, а вторая у. Ну и подставит что куда надо. 1/е вместо х, а 2 вместо у. Стоп, а где у?
Уясните сразу, дети мои, f(x)(F(x)) и у - это одно и то же (ну на самом деле не совсем, но вам хватит и этого).
Зачем мы вообще подставляли эту точку М? Взгляните на первообразную. Так вместо х подставили, вместо у подставили, что осталось найти? Правильно, С! А собственно, и искать-то больше нечего. Находим и подставляем ее обратно, то есть туда откуда взяли (взял-положи на место=)))) Такая вот веселая математика.
Студент-Репетитор(Астана)
02.04.2014, 12:34, Среда | Сообщение 141
Эрика, А я думал это слово уже знакомо ребятам с русских классов(школ)) я с казахского) я просто хотел объяснить разницу между интегралом и первообразной. в некоторых тестниках ЕНТ это не учитывают
Аня
02.04.2014, 19:55, Среда | Сообщение 142
для функции f(x)=5-7x найти первообразную если ее график проходит через точку M(-3;8)
Артем Offline Администрация
02.04.2014, 20:20, Среда | Сообщение 143
Цитата Аня ()
для функции f(x)=5-7x найти первообразную если ее график проходит через точку M(-3;8)


F(x)=5x-(7x²/2)+C

8=5*(-3)-(7*(-3)²/2)+C
C=8+46.5=54.5

F(x)=5x-(7x²/2)+54.5
выпускница2014 Offline Друзья сайта
Сообщений (266) Репутация (269) Награды (2)
02.04.2014, 20:24, Среда | Сообщение 144
Вычислить интеграл: ∫21(5/х - 2х)dx. У меня получилось -2/ln2+5ln2/
Правильно ли?
Эрика Offline Друзья сайта
04.04.2014, 15:33, Пятница | Сообщение 145
выпускница2014, абсолютно верно=)
выпускница2014 Offline Друзья сайта
Сообщений (266) Репутация (269) Награды (2)
04.04.2014, 16:35, Пятница | Сообщение 146
Эрика, спасибо)
Эрика Offline Друзья сайта
05.04.2014, 01:37, Суббота | Сообщение 147
Студент-Репетитор(Астана), не все) Многих еще до сих пор ставит в тупик слова в вопросе по Истории "...молоко кобыл...". Вопрос: кто такой кобыл?=))))
Гость
12.05.2014, 02:58, Понедельник | Сообщение 148
3х^4 - 2х надо найти первообразную
Артем Offline Администрация
12.05.2014, 09:00, Понедельник | Сообщение 149
Цитата Гость ()
3х^4 - 2х


F(x)=(3x⁵/5 ) - (2x²/2) = (3x⁵/5 ) - x²
Айгерим7494 Offline Ученики
07.09.2014, 21:51, Воскресенье | Сообщение 150
f(x)=−sinx−cosx+1/cos²x найдите первообразную, график которой проходит через точку (π/4;4)
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Простейшие определенные интегралы и первообразные функции (Решение определенного интеграла и нахождение первообразной)
Страница 5 из 6«123456»
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: