Теорема 7. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,...,Bn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Доказательство: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B1, B2,...,Bn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B1A, B2A,...,BnA. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:
P(B1A)=P(B1)PB1(A); P(B2A)=P(B2)PB2(A); P(BnA)=P(Bn)PBn(A)
Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности:
P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+...+P(Bn)PBn(A)=
P(Bi)PBi(A)
Пример 5. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго-0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие B2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(B1)=1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(B2)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, PB1=0.8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, PB2=0.9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)=0.5•0.8+0.5•0.9=0.85