где р(х) и q(х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если q(х) = 0, то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением. Если q(х)≠0, то уравнение (10) называется линейным неоднородным уравнением.
Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен метод вариации постоянной. В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения:

соответствующего данному неоднородному уравнению (10). Уравнение (11) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

=-p(x)dx ⇒ ln|y|=-∫p(x)dx+ln|C₁|

Отсюда, потенцируя, находим общее решение данного уравнения:

где С=±C₁ — произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (10) в виде (12), где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от х (в этом смысл метода!), т. е. в виде

Чтобы найти функцию С(х) подставим решение в виде (13) в уравнение (10). Получим:

C'(x)e^-∫p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫p(x)dx=q(x) (14)

или

C'(x)=q(x)e^∫p(x)dx (14')

Итак, чтобы функция (13) являлась решением уравнения (10), функция С(х) должна удовлетворять уравнению (14). Интегрируя его, находим:

C(x)=q(x)e^∫p(x)dxdx+C₁

где C₁ — произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для С (х) в соотношение (10), получаем общее решение линейного уравнения (10):

y(x)=C₁e^-∫p(x)dx+e^-∫p(x)dx∫q(x)e^∫p(x)dxdx

Пример 7. Найти общее решение уравнения у'+Зу=е^2х.

Данное уравнение является линейным. Здесь р(х)=3, q(х)=е^2х. Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y'+3y=0. Разделяя переменные =-3dx и интегрируя, находим ln|y|=-3x+ln|C₁| или y=±C₁e^-3x=Ce^-3x. Ищем общее решение данного уравнения в виде y=C(x)e^-3x. Дифференцируя, имеем y'=C'(x)e^-3x-3C(x)e^-3x. Подставляя в данное уравнение выражения для у и у', получаем C'(x)e^-3x=e^2x, C'(x)=e^5x или dC=e^5xdx, откуда C(x)=e^5x+C₂, где C₂ - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

y=C(x)e^-3x=(e^5x+C₂)e^-3x или y=e^2x+C₂e^-3x

Метод И. Бернулли

Суть заключается в следующем. Решение уравнения (10) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью постановки (подстановка Бернулли):

y=u(x)+v(x)

где u(x), v(x) - неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна. Тогда y'=u'v+uv' Подставляя выражения для y и y' в уравнение (10), получаем:

Выберем функцию v(x) так, чтобы сумма в скобках обратилась в нуль, т.е. v'+p(x)v=0. Итак, +p(x)v=0, т.е. =-p(x)dx. Интегрируя, получаем: ln|v|=-∫p(x)dx+ln|c|.
Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять c=1. Отсюда v=e^-∫p(x)dx. Подставляя найденную функцию v в уравнение (10), получаем u'e^-∫p(x)dx=q(x). Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: u=∫q(x)e^∫p(x)dx. Возвращаясь к переменной y, получаем решение исходного дифференциальное уравнения.

Пример 8. Найти общее решение уравнения y'+3y=e^2x

Делаем замену переменных y=u•v; y'=u'v+uv', где u=u(x) - произвольная функция, v=v(x) - функция, определяемая так, чтобы y=u•v было решением уравнения u'v+uv'+3u•v=e^2x. Группируем члены полученного уравнения: u'v+u(v'+3v)=e^2x. Приравниваем множитель второго слагаемого, стоящий в скобках к нулю v'+3v=0; ⇒ +3v=0.
Решив данное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, имеем

=-3v ⇒ =-3dx ⇒ ∫=3∫dx ⇒ ln|v|=-3x ⇒ v=e^-3x

Подставляя найденную функцию v=e^-3x в уравнение u'v+u(v'+3v)=e^2x, найдем u

u'•e^-3x=e^2x ⇒ u'=e^5x ⇒ =e^5x ⇒ ∫du=∫e^5xdx ⇒ u=e^5x+c

Подставляя u и v в y=u•v находим решение заданного уравнения:

y=(e^5x+c)•e^-3x или y=e^2x+ce^-3x