где х - независимая переменная; у - искомая функция; у' - её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (3) можно разрешить относительно у', то оно принимает вид:

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (4) первого порядка удобно записывать в форме:

или в форме:

где Р(х,у) и Q(x,y) – известные функции. Форма (5) удобна тем, что здесь переменные х и у равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Под решениями уравнения (5), в общем случае, понимаются функции x=φ(t), y=ψ(t), заданные параметрически (t – параметр) и удовлетворяющие уравнению (5).

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из них которых дается свой особый способ решения.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (4) имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (4) и является основной теоремой в теории дифференциальных уравнений.

ТЕОРЕМА.(теорема Коши). Если функция f(х,y) и ее частная производная f'_y(х,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (x₀,y₀) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения у'=f(x,у), удовлетворяющее условиям:

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (4) решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение. Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x₀,y₀) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение (4) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (6), в силу которых функция у=φ(х) принимает заданное значение у₀ в заданной точке х₀, называют начальными условиями решения и записывают обычно так:

Отыскание решения уравнения (4), удовлетворяющего начальным условиям (7), - одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши - значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (x₀,y₀) плоскости Оху.

Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.