Menu
Ламинарное течение вязкой жидкости в круглых трубах. Формула Пуазейля
Рассмотрим стационарный поток жидкости через трубу, радиусом R. В этом потоке выделим объем - коаксиальный цилиндр, радиуса r. Вследствие симметрии задачи, ясно, что частицы жидкости, равноудаленные от оси трубы, будут иметь одинаковую скорость.

Для получения зависимости скорости течения жидкости по поперечному сечению трубы, воспользуемся условием стационарности. Жидкость движется с постоянной скоростью, следовательно, без ускорения, следовательно, сумма сил, приложенных к выделенному объему равна нулю. На выделенный объем действуют силы давления и силы трения:

Fдавл=F1-F2=P1·S-P2·S=(P1-P2)·Sосн=(P1-P2)·π·r2

Fтр=η·Sбок·dv/dr=2η·π·r·L·dv/dr

Из условия стационарности следует:

Fдавл=Fтр → (P1-P2)·π·r2=-2η·π·r·L·dv/dr (т.к dv/dr<0)

Преобразуем полученное уравнение:

dv=(P1-P2)·r·dr/2η·L → dv=[(P1-P2)/2η·L] · r · dr

т.к. при r=R → v=0. Окончательно получим:

V=(P1-P2) · (R2-r2) / 4η·L

Это парабола. При r=R → v=0. При r=0 → V=Vmax=(P1-P2) / 4η·L

теперь выражение для объема жидкости Q, протекающей через поперечное сечение трубы за одну секунду.

За одну секунду, выделенный слой переносит объем жидкости, равный:

dQ=V·dS=V·2·π·r·dr,

где dS - площадь заштрихованного кольца. Подставим сюда полученное ранее выражение для скорости:

dQ=(P1-P2) · (R2-r2) · 2 π·r·dr/ 4η·L

Проинтегрируем получившееся уравнение:

Окончательно получим:

Q=π·r4 · (P1-P2) / 8η·L (1.70)

Это и есть формула Пуазейля (1799 – 1869), которая описывает объемный расход жидкости через круглую трубу, при ламинарном течении.

Имя *:
Email: