Пусть колебательная система, например шарик на пружине, подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

Введя обозначения 2β=r/m, ω²=k/m, f₀=F₀/m, запишем это уравнение следующим образом:

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. функцию (40), являющуюся общим решением уравнения (32):

где ω'=√(ω₀²-β²), A₀ и α - произвольные постоянные.

Следует помнить, что это уравнение описывает затухающие колебания, которые представляют интерес только с точки зрения подхода к установившимся колебаниям. Нас же интересуют только установившиеся вынужденные колебания. Частное решение будем искать в виде:

Воспользуемся помощью векторной диаграммы и метода подстановки решения (47) в исходное уравнение (46). При этом получаем:

Подстановка выражений (47) - (49) в уравнение (46) приводит к соотношению:

Из (50) следует, что постоянные A и φ должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f₀cosωt была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Если изобразить функцию ω₀²Acos(ωt-φ) вектором длиной ω²A, направленным вправо, то функция 2βωAcos(ωt-φ+(π/2)) изобразится вектором длиной 2βωA (рис.13), повёрнутым относительно вектора ω₀²A против часовой стрелки на угол π/2, а функция ω²Acos(ωt-φ+π) - вектором длиной ω²A, повернутым относительно вектора ω₀²A на угол π. Для того, чтобы уравнение (50) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию f₀cosωt. Из рисунка 13.a видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды, которое определяется условием:

Мы заменили f₀ отношением F₀/m. Рисунок отвечает случаю ω<ω₀. Из рисунка 13.б отвечающему случаю ω>ω₀ получается такое же значение A.

Рис. 13 позволяет получить также и значение φ, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (47) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка видно, что:

Подставив в (47) значения A из (51) и φ из (52), получим функцию, являющуюся частным решением уравнения, описывающего установившиеся вынужденные колебания:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды колебаний называется резонансом, а соответствующая частота, при которой амплитуда достигает максимального значения, называется резонансной частотой (ω_рез).

Для определения резонансной частоты нужно найти максимум функции (51) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по ω и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее резонансную частоту:

Уравнение (54) имеет три решения: ω=0 и ω=±√(ω₀²-2β²).

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение.

Подставив это значение частоты в (51), получим выражение для амплитуды при резонансе:

Из (56) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (55) резонансная частота при тех же условиях (при β=0) совпадает с собственной частотой колебания системы ω₀.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана на рис. 14.

Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра β. В соответствии с (55) и (56), чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (когда 2β²>ω₀²) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 14). Изображенная на рис. 14 совокупность графиков функций (56), соответствующих различным значениям параметра β, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать ещё следующие замечания. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному F₀/mω₀², т.е. F₀/k. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы F₀. При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет своё направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменится с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем острее получается максимум.

Из формулы (56) вытекает, что при малом затухании (т.е. при β<<ω₀) амплитуда при резонансе приближенно равна:

Разделим это выражение на смещение x₀ от положения равновесия под действием постоянной силы F₀, равной F₀/mω₀². В результате получим:

Таким образом, добротность показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Из рис. 13 видно, что вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания φ лежит в пределах от 0 до π.

Зависимость φ от ω при различных значениях β показана графически на рис. 15. Частоте ω₀ соответствует φ=π/2. Из (55) видно, что резонансная частота меньше собственной. Следовательно, в момент резонанса φ<π/2. При слабом затухании ω_рез≈ω₀ и значение φ при резонансе можно считать равным π/2.

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних взаимодействий. Например, собственная вибрация корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Известны случаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебания моста была близка к частоте, с которой шагала колонна.

Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике, и т.д.