Menu
Вынужденные колебания
Пусть колебательная система, например шарик на пружине, подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

Fk=F0·cosωt (45)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

m·d2x/dt2 = -kx - r·dx/dt + F0·cosωt

Введя обозначения 2β=r/m, ω2=k/m, f0=F0/m, запишем это уравнение следующим образом:

d2x/dt2 + 2β·dx/dt + ω02=f0·cosωt (46)

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. функцию (40), являющуюся общим решением уравнения (32):

x=A0e-βt·cos(ω' t+α),

где ω'=√(ω022), A0 и α - произвольные постоянные.

Следует помнить, что это уравнение описывает затухающие колебания, которые представляют интерес только с точки зрения подхода к установившимся колебаниям. Нас же интересуют только установившиеся вынужденные колебания. Частное решение будем искать в виде:

x=A·cos(ωt+φ) (47)

Воспользуемся помощью векторной диаграммы и метода подстановки решения (47) в исходное уравнение (46). При этом получаем:

dx/dt=-ωAsin(ωt-φ)=ωAcos(ωt-φ+(π/2)) (48)

d2x/dt2=-ω2Acos(ωt-φ)=ω2Acos(ωt-φ+π) (49)

Подстановка выражений (47) - (49) в уравнение (46) приводит к соотношению:

ω2Acos(ωt-φ+π) + 2βωAcos(ωt-φ+(π/2)) + ω02Acos(ωt-φ)=f0cosωt (50)

Из (50) следует, что постоянные A и φ должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f0cosωt была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Если изобразить функцию ω02Acos(ωt-φ) вектором длиной ω2A, направленным вправо, то функция 2βωAcos(ωt-φ+(π/2)) изобразится вектором длиной 2βωA (рис.13), повёрнутым относительно вектора ω02A против часовой стрелки на угол π/2, а функция ω2Acos(ωt-φ+π) - вектором длиной ω2A, повернутым относительно вектора ω02A на угол π. Для того, чтобы уравнение (50) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию f0cosωt. Из рисунка 13.a видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды, которое определяется условием:

022)·A2+4β2ω2A2=f02, откуда A=(F0/m)/√((ω022)2+4β2ω2) (51)

Мы заменили f0 отношением F0/m. Рисунок отвечает случаю ω<ω0. Из рисунка 13.б отвечающему случаю ω>ω0 получается такое же значение A.


Рис 13

Рис. 13 позволяет получить также и значение φ, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (47) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка видно, что:

tg=2βω/(ω022) (52)

Подставив в (47) значения A из (51) и φ из (52), получим функцию, являющуюся частным решением уравнения, описывающего установившиеся вынужденные колебания:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды колебаний называется резонансом, а соответствующая частота, при которой амплитуда достигает максимального значения, называется резонансной частотой (ωрез).

Для определения резонансной частоты нужно найти максимум функции (51) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по ω и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее резонансную частоту:

(d/dω)·[(ω022)2+4β2ω2]=0 (54)

Уравнение (54) имеет три решения: ω=0 и ω=±√(ω02-2β2).

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение.

ωрез=√(ω02-2β2) (55)

Подставив это значение частоты в (51), получим выражение для амплитуды при резонансе:

Aрез=(F0/m)/2β√(ω022) (56)

Из (56) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (55) резонансная частота при тех же условиях (при β=0) совпадает с собственной частотой колебания системы ω0.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана на рис. 14.


Рис. 14

Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра β. В соответствии с (55) и (56), чем меньше β, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (когда 2β202) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 14). Изображенная на рис. 14 совокупность графиков функций (56), соответствующих различным значениям параметра β, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать ещё следующие замечания. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному F0/mω02, т.е. F0/k. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы F0. При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет своё направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменится с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем острее получается максимум.

Из формулы (56) вытекает, что при малом затухании (т.е. при β<<ω0) амплитуда при резонансе приближенно равна:

Aрез≈(F0/m)/2βω0

Разделим это выражение на смещение x0 от положения равновесия под действием постоянной силы F0, равной F0/mω02. В результате получим:

Aрез/x0≈ω0/2β=2π/2βT=π/χ=Q (57)

Таким образом, добротность показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Из рис. 13 видно, что вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания φ лежит в пределах от 0 до π.

Зависимость φ от ω при различных значениях β показана графически на рис. 15. Частоте ω0 соответствует φ=π/2. Из (55) видно, что резонансная частота меньше собственной. Следовательно, в момент резонанса φ<π/2. При слабом затухании ωрез≈ω0 и значение φ при резонансе можно считать равным π/2.


Рис. 15

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних взаимодействий. Например, собственная вибрация корпуса корабля или крыльев самолета должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут быть возбуждены вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Известны случаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним марширующих колонн солдат. Это происходило потому, что собственная частота колебания моста была близка к частоте, с которой шагала колонна.

Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике, и т.д.

Имя *:
Email: