Menu
Плоскость в пространстве
В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводиться к виду

Ax+By+Cz+D=0 (14)

Уравнение (14) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением (14). Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнения.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость проходит через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярна к вектору =(A,B,C), то ее уравнение записывается в виде: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

2. Уравнение плоскости в «отрезках». Если плоскость пересекает оси координат Ox, Oy, Oz в точках M1(a,0,0) M2(0,b,0) M3(0,0,c) соответственно, то ее уравнение можно записать в виде:
(16)
где a≠0, b≠0, c≠0

3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через точки Mi(xi,yi,zi (i=1,3), не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде:

(17)

Рассмотрим простейшие задачи.

1) Величина угла φ между плоскостями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 вычисляется на основании формулы:

(18)

где n1=(A1,B1,C1), n2=A2,B2,C2)- нормальные векторы данных плоскостей. С помощью формулы (5) можно получить условие перпендикулярности данных плоскостей:
n1•n2=0 или A1A2+B1B2+C1C2=0
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид:

2) Расстояние d от точки до плоскости, заданной уравнением (14), вычисляется по формуле:

Пример 14. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями
3x+3y+2z–15=0 и 3x+3y+2z+13=0.

Для решении задачи находим любую точку принадлежащую на одной из плоскости, например считая y=z=0 из уравнения первой плоскости находим , что x=5 Тогда по формуле нахождения расстояния от данной точки М0(5,0,0) до второй плоскости находим d= 4.

Имя *:
Email: