Menu
Прямая в пространстве
В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно рассматривать различные ее уравнения:

1. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Пусть прямая проходит через точку M0(x0,y0,z0) параллельно вектору s(m,n,p), а M(x,y,z) любая точка этой прямой.

Если r0 и r – радиусы-векторы точек M0 и M, то справедливо векторное равенство:

r=r0+t•s (-∞ < t < +∞) (20)

которое получается по правилу сложения векторов. Уравнение (20) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, s – направляющим вектором прямой (20), t – параметром.

2. Параметрические уравнения прямой. Из уравнения (20) получаем три скалярных уравнения:

(21)

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

3. Канонические уравнения прямой. Разрешая уравнения в системе (21) относительно t и приравнивая полученные отношения, приходим к конечным уравнениям прямой:

(22)

4. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), то её уравнения можно записать в виде

(23)

5. Общие уравнения прямой в пространстве. Две пересекающиеся плоскости

(24)

где n1 и n2 не параллельны, определяют прямую. Уравнение (24) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Направляющий вектор s прямой, заданной уравнениями (24), определяется по формуле

а координаты какой-либо точки M0(x0,y0,z0), лежащей на этой прямой , можно найти как решение системы (24). Тогда уравнения данной прямой можно записать в канонической форме (9).

Если прямые заданы каноническими уравнениями:

то величина угла φ между ними определяется из формулы:

(25)

Теперь можно записать условие перпендикулярности прямых s1•s2=0, a условие параллельности s1||s2, а условия их совпадения s1||s2||M1M2, где М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) , а s1,s2 – направляющие векторы.

Необходимое и достаточное условие пересечения не параллельных прямых заданных в каноническом виде

(26)

Если условие (26) не выполняется, то прямые скрещивающиеся.
Расстояние h от точки М1(x1,y1,z1) до прямой, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) в направлении вектора s(m,n,p) вычисляется по формуле:

(27)

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ортогональной проекцией на плоскость.
Величина угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:

(28)

Пример 15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1,0,2) перпендикулярно к двум плоскостям 2x–y+3z–1=0 и 3x+6y+3z-5=0

Так как коэффициенты плоскостей не пропорциональны, то они пересекаются, тогда направляющий вектор линий пересечения находим из векторного произведения нормалей двух плоскостей т.е.

Тогда этот вектор будет нормалью искомой плоскости и согласно этому находим 7x–y-5z=0.

Пример 16. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости x+4y-3z+7=0.

Искомая плоскость проходит через точку М0(2,3,-1) на прямой и через направляющий вектор прямой s=(5,1,2) и через нормаль данной плоскости n=(1,4,-3). Тогда из условия компланарности трех векторов М0М, s и n находим:

, откуда 11x-17y-19z+10=0.

Илья   16.01.2014 02:34
в 16 примере Вы перепутали местами координаты направляющего вектора ,когда переписываете в определитель(5,1,2)
Имя *:
Email: