Биномиальное распределение (распределение, вероятности в котором определяются формулой Бернулли P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X	n	n-1	...	k	...	1	0
P	pn	npn-1q	...	Cnkpkqn-k	...	Cm1pqn	qn

Пример 14. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение: Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p=0.5, следовательно, вероятность не появления «герба» q=1-0.5=0.5. При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁=2, х₂=1, х₃=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
P₂(2)C₂²p²=(0.5)²=0.25
P₂(1)C₂¹pq=2•(0.5)•(0.5)=0.5
P₂(0)C₂⁰q²=(0.5)²=0.25

X	2	1	0
P	0.25	0.5	0.25

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

Распределение Пуассона (распределение, вероятности в котором определяются по формуле Пуассона: P_n(k)=λ^ke^-λ/k!. Выглядит таким образом:

X	0	1	2	...	k
P	e-λ	λe-λ/1!	λ2e-λ/2!	...	λke-λ/k!

Пример 15. На складе в аптеке имеется 100000 упаковок различных лекарственных препаратов. Вероятность того, что среди них имеется препарат с истекшим сроком годности равна 0,0001. Найти вероятность того, что ровно 5 упаковок не годны к применению.

Решение. По условию n=100000, p=0.0001, k=5. События состоящие в том, что препараты в 5 упаковках не годны к применению, независимы, число n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона: P_n(k)=λ^ke^-λ/k!. Найдем λ=np=10000*0.0001=10. Искомая вероятность P₁₀₀₀₀(5)=10⁵e^-10/5!=0.0375. Следовательно, закон распределения имеет вид:

X	0	1	2	...	5
P	e-10	10e-10/1!	102e-10/2!	...	105e-10/5!

Равномерное распределение ( распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, у которой на интервале (a;b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a), вне этого интервала f(x)=0

Пример 16. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a;b).

Решение. График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2. Поэтому M(X)=(a+b)/2. Итак математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a;b) равно полусумме концов этого интервала.

Решение. Используем формулу D(x)=x²f(x)dx-[M(x)]². Подставив f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию D(X)=(b-a)²/12. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии σ(X)=(b-a)/2√3.

Нормальное распределение ( Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

где a - математическое ожидание, σ² - дисперсия, σ - среднее квадратичное отклонение этой величины. График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рисунке 1.

Этот график симметричен относительно вертикальной прямой x=a, причем в точке функция имеет максимум, равный . Ось абсцисс является асимптотой графика этой функции.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

где - функция Лапласа и Ф(-x)=-Ф(x) (16)
Ф(x) - табулированная функция.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, P(|x-a|<δ)=2Ф(δ/σ). В частности, при a=0 справедливо равенство

Мода и медиана нормального распределения соответственно равны: M₀=a, M_e=a, где a=M(x)

Пример 18. Предполагая, случайная величина Х, определяемой как масса таблетки, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием a=0.5 г., и средним квадратичным отклонением σ=0.1 г., найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,45 до 0,55 г.

Решение: Подставив исходные данные в формулу (15), полагая при этом α=0.45, β=0.55, получим:

P(0.45<M<0.55)==Ф(0.5)-Ф(-0.5)=2Ф(0,5)

Ф(0,5)≈0.1915 (по таблице). Ввиду нечетности функции:
Ф(X), Ф(-0.5)=-Ф(0.5) ⇒ P(0.45<M<0.55)=0.3830

Распределения, связанные с нормальным распределением. В случае, когда α=0, σ=1, функция (14) принимает вид . Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, определяемое данной формулой называется нормированным, или стандартным. График этой функции называется нормированной кривой.

Числовые характеристики	Математическое ожидание	Дисперсия	СКО	Мода. Медиана
Распределение	M(X)	D(X)	σx
1. Биномиальное	np	np(1-p)	√[np(1-p)]
2. Пуассона	λ	λ	√λ
3. Равномерное	(a+b)/2	(a+b)2/12	|b-a|/√12	Медиана (a+b)/2
4.Нормальное (Гауссово)	a	σ2	σ	Мода=a Mедиана=a