Menu
Примеры некоторых распределений
Биномиальное распределение (распределение, вероятности в котором определяются формулой Бернулли Pn(k)=Cnkpkqn-k.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X n n-1 ... k ... 1 0
P pn npn-1q ... Cnkpkqn-k ... Cm1pqn qn

Пример 14. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение: Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p=0.5, следовательно, вероятность не появления «герба» q=1-0.5=0.5. При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х1=2, х2=1, х3=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
P2(2)C22p2=(0.5)2=0.25
P2(1)C21pq=2•(0.5)•(0.5)=0.5
P2(0)C20q2=(0.5)2=0.25

X 2 1 0
P 0.25 0.5 0.25

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

Распределение Пуассона (распределение, вероятности в котором определяются по формуле Пуассона: Pn(k)=λke/k!. Выглядит таким образом:

X 0 1 2 ... k
P e λe/1! λ2e/2! ... λke/k!

Пример 15. На складе в аптеке имеется 100000 упаковок различных лекарственных препаратов. Вероятность того, что среди них имеется препарат с истекшим сроком годности равна 0,0001. Найти вероятность того, что ровно 5 упаковок не годны к применению.

Решение. По условию n=100000, p=0.0001, k=5. События состоящие в том, что препараты в 5 упаковках не годны к применению, независимы, число n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона: Pn(k)=λke/k!. Найдем λ=np=10000*0.0001=10. Искомая вероятность P10000(5)=105e-10/5!=0.0375. Следовательно, закон распределения имеет вид:

X 0 1 2 ... 5
P e-10 10e-10/1! 102e-10/2! ... 105e-10/5!

Равномерное распределение ( распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, у которой на интервале (a;b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a), вне этого интервала f(x)=0

Пример 16. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a;b).

Решение. График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2. Поэтому M(X)=(a+b)/2. Итак математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a;b) равно полусумме концов этого интервала.

Решение. Используем формулу D(x)=x2f(x)dx-[M(x)]2. Подставив f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию D(X)=(b-a)2/12. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии σ(X)=(b-a)/2√3.

Нормальное распределение ( Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:

(14)

где a - математическое ожидание, σ2 - дисперсия, σ - среднее квадратичное отклонение этой величины. График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рисунке 1.

Этот график симметричен относительно вертикальной прямой x=a, причем в точке функция имеет максимум, равный . Ось абсцисс является асимптотой графика этой функции.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

(15)

где - функция Лапласа и Ф(-x)=-Ф(x) (16)
Ф(x) - табулированная функция.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, P(|x-a|<δ)=2Ф(δ/σ). В частности, при a=0 справедливо равенство

P(|x|<δ)=2Ф(δ/σ)

Мода и медиана нормального распределения соответственно равны: M0=a, Me=a, где a=M(x)

Пример 18. Предполагая, случайная величина Х, определяемой как масса таблетки, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием a=0.5 г., и средним квадратичным отклонением σ=0.1 г., найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,45 до 0,55 г.

Решение: Подставив исходные данные в формулу (15), полагая при этом α=0.45, β=0.55, получим:

P(0.45<M<0.55)==Ф(0.5)-Ф(-0.5)=2Ф(0,5)


Ф(0,5)≈0.1915 (по таблице). Ввиду нечетности функции:
Ф(X), Ф(-0.5)=-Ф(0.5) ⇒ P(0.45<M<0.55)=0.3830

Распределения, связанные с нормальным распределением. В случае, когда α=0, σ=1, функция (14) принимает вид . Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, определяемое данной формулой называется нормированным, или стандартным. График этой функции называется нормированной кривой.

Распределения и их характеристики

Числовые характеристики Математическое ожидание Дисперсия СКО Мода. Медиана
Распределение M(X) D(X) σx
1. Биномиальное np np(1-p) √[np(1-p)]
2. Пуассона λ λ √λ
3. Равномерное (a+b)/2 (a+b)2/12 |b-a|/√12 Медиана (a+b)/2
4.Нормальное (Гауссово) a σ2 σ Мода=a
Mедиана=a
Имя *:
Email: