ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных.

Например, уравнение 2xy'-3y=0', где y=y(x), является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а u'_x-u'_y+1=0, где u=u(x,y), дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

где F - некоторая функция от n+2 переменных, n1, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение x²(y''')⁴-x(y')⁵+8=0 третьего порядка и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

где F –некоторая функция от n+1 переменной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y=y(x), которая при подстановке её в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sinx является решением уравнения y''+y=0, так как (sinx)''+sinx=0 для любых х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример 1. Решить уравнение у''=х.

Поскольку y''=, то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: dy'=xdx. Выполняя почленное интегрирование, получаем y'=+C₁, где C₁ произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству dy=(+C₁)dx. Интегрируя почленно, окончательно получаем y=+C₁x+C₂, где C₁ - произвольная постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения (1) n-го порядка называется такое решение:

которое является функцией переменной x и n произвольных независимых постоянных C₁,C₂,…,C_n. (Независимость постоянных означает отсутствие каких - либо соотношений между ними). Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C₁,C₂,…,C_n.

В примере 1 y=+C₁x+C₂ - общее решение, y=+2x+1 - частное решение дифференциального уравнения у''=х.