Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям над векторами относятся:

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов называется вектор, обозначаемый , начало которого находится в начале первого вектора a₁, а конец – в конце последнего вектора a_n, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией векторов a_i называется вектор a, определяемый по формуле , где – некоторые числа.

Если для системы n векторов a_i равенство

верно только в случае, когда эта система называется линейно независимой. Если же равенство (1) выполняется для , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē₁, ē₂, ē₃ в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē₁, ē₂, ē₃, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē_{1 +} yē₂ + zē₃, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē₁, ē₂, ē₃. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Пример 5. Векторы заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8),  е₁ = (1,2,3), е₂ = (1,-1,-2), е₃ = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е₁,е₂,е₃ образует базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если определитель , составленный из координат векторов е₁, е₂, е₃, не равен 0, то векторы е₁,е₂,е₃ линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е₁, е₂, е₃ - базис.

Обозначим координаты вектора a в базисе е₁, е₂, е₃ через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе₁ + yе₂ + zе₃. Так как по условию а = 2i – j +8k , е₁ = i +2j +3k , е₂ = i – j -2k, е₃ = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе₂ + zе₃ следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z:

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е₁ – е₂ + е₃ = (2,-1,1).