Menu
Преобразования Лоренца
Найдем теперь эти преобразования координат и времени, которые согласуются с постулатами Эйнштейна.


Рис. 1.29. Разновременность одного и того же события в разных системах отсчета

Для этого рассмотрим те же самые системы координат (см. рис. 1.29) O и O', движущиеся относительно друг друга со скоростью v.

Пространство однородно (нет пока экспериментальных фактов, указывающих на неоднородность пространства). Тогда формулы преобразования координат не должны зависеть от переноса начала координат. Этому условию удовлетворяют лишь линейные преобразования.

Далее, плоскость y=0 совпадает с плоскостью y'=0. Из всего этого следует, что:

y=ε·y'

Поскольку системы O и O' равноправные, можно записать:

y'=ε·y

Отсюда следует, что ε=±1.

Знак плюс соответствует одинаковому направлению осей y и y', а знак минус - противоположному.

Итак y=y', то же и для оси z: z=z'

В механике Галилея было:

x=x'+vt'; x'=x-vt и t=t' т.е x=x'+vt; x'=x-vt

Отсюда следовало:

x'=x''+v; x''=x'-v
ux=u'x+v; u'x=ux-v

Но это преобразование скоростей противоречит второму постулату. Действительно, если в системе O' u'x=c, то в системе O ux=u'x+v=c+v>c что не может быть.

Следовательно, преобразования Галилея нужно заменить другими, но тоже линейными (в силу изотропности пространства). Поэтому запишем:

x=γ·(x'+v·t'); x'=γ·(x-v·t) (А)

В силу равноправности систем O и O'. Для нахождения γ воспользуемся вторым постулатом.

Пусть в момент времени, когда системы были совмещены - t=t'=0, посылают свет, который производит вспышку на экране в точке x=a. Это событие. Его координаты в системе O будут:

x=a; t=b; x=c·b

В системе O':

x'=a'; t'=b'; x'=c·b'

Подставим это в уравнения (А) преобразования координат:

c·b=γ·(c·b'+v·b')=γ·(c+v)·b'
c·b'=γ·(c·b-v·b)=γ·(c-v)·b

Перемножив эти два уравнения, получим:

c2·b·b'=γ2·(c+v)·(c-v)·b·b'

Отсюда вытекает, что:

Для сокращения, обычно пишут:

γ=1/√(1-β2), где β=v/c

Найдем теперь формулу преобразования времени.
Для этого исключим из системы (А) координату x:

x'=γ·(γ·(x'+v·t') - v·t)

Раскроем скобки:

x'=γ·(γ·x'+γ·v·t'-v·t)=γ2·x'+γ2·v·t'-γ·v·t

Выразим отсюда время t:

t=(γ2·x'+γ2·v·t' - x')/γ·v

Преобразуем получившееся уравнение:

Раскроем теперь γ:

Получили формулу преобразования времени.

Итак, мы получили следующие преобразования координат и времени:

Эти формулы носят название формул преобразования Лоренца, поскольку впервые их записал Лоренц.

При малых скоростях -V<<c формулы Лоренца переходят в формулы Галилея.

Имя *:
Email: