Menu
Новые сообщения Участники Правила форума Поиск RSS
Страница 1 из 141231314»
Модератор форума: Bukashka, noka 
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Прогрессия. Геометрическая и арифметическая. Сумма n. (Решение задач, а сначала объяснение.)
Прогрессия. Геометрическая и арифметическая. Сумма n.
Артем Offline Администрация
10.11.2011, 00:22, Четверг | Сообщение 1
Итак существуют стандарты для арифметической прогрессии каждый элемент имеет порядковый номер.

Вот примеры арифметической прогрессии:

1, 2, 3, 4, 5
10,12,14,16
100,150,200
-1, -3, -5, -7
-5, -2, 1, 4

Как вы уже заметили ряд чисел при арифметической прогрессии постоянно изменяется постоянно на одно и тоже число. Если обозначить первый элемент такой прогрессии a1, то второй будет равен a2 и так далее.

a2=a1+d (Это частная формула, общий вид увеличения порядка в следующей)

an=a1+d(n-1), здесь n - любой элемент прогрессии от 1 до ∞.

Так d - это число на которое увеличивается или уменьшается порядок в зависимости от знака, собственно при положительном d прогрессия бесконечно возрастающая. А при отрицательном бесконечно убывающая.

Теперь ближе к практике, допустим есть набор чисел: 10, -2, -14 ...

Нужно найти 23 элемент бесконечно убывающей прогрессии.

Найдем d=-2-10=-12

a23=10-12*(22)=-254

Теперь бывает в задании нужно найти сумму всех элементов прогрессии от a до b, для этого используют формулу суммы n элементов арифметической прогрессии.

Sn=[2a1+d(n-1)]*n/2

Сразу к примеру, например нам дано a1=2, a10=38. Нужно найти сумму элементов от a5 до a13

Найдем d:
a10=a1+9d
38=2+9d
d=4

Теперь найдем сумму чисел от a1 до a13 по формуле:

Sn=[2a1+d(n-1)]*n/2

S13=(2*2+4*12)*13/2=312

Теперь нужно найти сумму чисел от a1 до a5

S5=(2*2+4*4)*5/2=50

Сумма чисел от a5 до a13 равна S13-S5=312-50=262

Думаю на арифметической все. Дополню о геометрической сейчас
Артем Offline Администрация
10.11.2011, 00:47, Четверг | Сообщение 2
Итак в прошлый раз я объяснил немного о арифметической прогрессии, теперь займемся геометрической прогрессией, Элементы которой тоже имеют свой порядок и обозначаются b1, b2, b3, bn

Итак также как и арифметическая, геометрическая прогрессия это упорядоченный набор цифр из элементов такой прогрессии, которые изменяются по определенному закону.

Например:

2, 4, 8, 16, 32...
3, 9, 27, 81...
36, 6, √(6), 3√(6) ....

Как Вы уже поняли геометрическая прогрессия тоже может быть убывающей и возрастающей. То есть практически ничего не поменялось, только последующий элемент теперь изменяется в несколько раз, когда арифметическая на некоторое число.

Ознакомимся с формулой нахождения n-го элемента такой прогрессии из заданных.

bn=b1*qn-1

Например пусть b1=5, q=3. Нужно найти b4

b4=5*33=5*27=135

Теперь точно также можно найти сумму элементов геометрической прогрессии по формуле:

Sn=b1*[(1-qn)/(1-q)]

Пусть b1=3, b4=24. Найти сумму возрастающей геометрической от b2 до b7

Найдем сначала q.

24=3*q3
q3=8
q=2

Теперь найдем сумму от b1 до b7

S7=[3*(1-26)]/(1-7)=189/6=31,5

А сумма от b2 до b7 равна 31,5-b1=31,5-3=28,5
Артем Offline Администрация
10.11.2011, 00:48, Четверг | Сообщение 3
Теперь пиши непонятные задачи будем еще секреты раскрывать!

Еще забыл если геометрическая прогрессия бесконечно убывающая то формула:

Sn=bn/(1-q)
Gargona Offline Друзья сайта
10.11.2011, 01:53, Четверг | Сообщение 4
Для некоторой арифмитической прогрессии найдите S16, если S4=-28, S6=58?
Я решала как систему, но с ответом не сходится.
Адильхан1994 Offline Студенты
Сообщений (11) Репутация (6) Награды (0)
10.11.2011, 02:15, Четверг | Сообщение 5
Ришат, мне кажется, что вы "немного" попутали с формулами smile

Gargona, разложим каждую сумму.

1) S4= ((2 * a1 + 3d) * 4)/2

-28=((2 * a1 + 3d) * 4)/2

2* a1 + 3d= - 14

2) S6= ((2 * a1 + 5d) * 6)/2

58= ((2 * a1 + 5d) * 6)/2

3) Теперь подставляем результат первого действия во второе:

58= (( 2 * a1 + 3d + 2d) * 6)/2

58= ((-14 + 2d) * 6)/2=58

d=100/6

4) Подставляем d в первое действие:

2 * a1 + 3 (100/6) = - 14

a1= - 32

5) S16= ((2 * (-32) + 3 * 100/6) * 16)/2

В итоге получается 1488.
Gargona Offline Друзья сайта
10.11.2011, 02:28, Четверг | Сообщение 6
Ришат, что-то с суммой не поняла, как так получается?

Добавлено (10.11.2011, 01:28)
---------------------------------------------
Адильхан1994, Вот в чем дело то! А то я в S6 6/3 и рассрыла скобки, получился бардак))
спасибо!

Артем Offline Администрация
10.11.2011, 08:44, Четверг | Сообщение 7
Gargona, Давай далее к более сложным, когда одна система образует и геометрическую и арифметическую прогрессии!
кристя95 Offline Друзья сайта
10.11.2011, 13:08, Четверг | Сообщение 8
Вариант 12 №21. 2009. Три числа, первое из которых равно 8, образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 1, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Добавлено (10.11.2011, 12:03)
---------------------------------------------
Вариант 21 №14.2009. В геометрической прогрессии (b18+b19) / (b6+b7) =13. Найдите отношение суммы первых двадцати четырех ее членов к сумме первых ее двенадцати членов.

Добавлено (10.11.2011, 12:08)
---------------------------------------------
Вариант 25 №22. 2009. Задача вроде лёгкая, но что-то не получается ее решить. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 80, а ее пятый член равен 6. Найдите сумму второго и четвертого членов прогрессии.
Адильхан1994 Offline Студенты
Сообщений (11) Репутация (6) Награды (0)
10.11.2011, 15:34, Четверг | Сообщение 9
кристя95, в первом получилось 3/2?
Сявик Offline Друзья сайта
Сообщений (204) Репутация (257) Награды (2)
10.11.2011, 16:00, Четверг | Сообщение 10
кристя95, последняя из твоего списка) Для начала надо расписать а5
а5 = а1 + 4d............Отсюда а1 равно:
а1 = а5 - 4d=6-4d
Расписываем сумму первых десяти членов
S10=(2а1 + 9d)10/2 = (2а1 + 9d)*5
Подставляем теперь выраженное а1 в сумму и приравниваем к 80. Писать вычисления я не буду, запишу сразу ответ
d=4
а1=6-4*4=-10
Ну теперь находим а2 и а4 и складываем их:
а21 + d =-10+4=-6
а41 + 3d =-10 + 12 = 2
а2 + а4=-6+2=-4
Надеюсь решил все без ошибок)
Ришат Offline Друзья сайта
Сообщений (403) Репутация (487) Награды (6)
10.11.2011, 16:16, Четверг | Сообщение 11
Да уж, спутал, извините!
Quote
Вариант 21 №14.2009. В геометрической прогрессии (b18+b19) / (b6+b7) =13. Найдите отношение суммы первых двадцати четырех ее членов к сумме первых ее двенадцати членов.

смотри jpg фаил
Добавлено (10.11.2011, 15:16)
---------------------------------------------
Quote

Вариант 12 №21. 2009. Три числа, первое из которых равно 8, образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 1, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.


дана какая-то геом прогрессия
b+bq+bq2....

Если второе число увеличить на 1, то прогрессия станет арифметической
ариф
b+bq+1+bq2....

св-во ариф прог: (аn-1n+1)\2=аn
пригодится: св-во геом прог: √(bn-1 *bn+1)=bn


(b+bq2)\2=bq+1
8+8q2=16q+2
8q2-16q+6=0
4q2-8q+3=0
q1=1.5 q2=0.5 знаменатели найдены
проверка
8 12 18 q=1.5
8 13 18 d=5

8 4 2 q=0.5
8 5 2 d=-3
Прикрепления: 2073207.jpg(35Kb)
Адильхан1994 Offline Студенты
Сообщений (11) Репутация (6) Награды (0)
10.11.2011, 18:20, Четверг | Сообщение 12
Сявик, да, без ошибок, я тоже решил сделать три примера, которые предложили) Неплохая практика.
кристя95 Offline Друзья сайта
10.11.2011, 19:27, Четверг | Сообщение 13
Quote (Адильхан1994)
в первом получилось 3/2?


ответ 3/2 и 1/2
Гость
10.11.2011, 20:29, Четверг | Сообщение 14
найдите сумму десяти членов арифметической прогрессии,заданной формулой аn=3n+1
кристя95 Offline Друзья сайта
10.11.2011, 20:43, Четверг | Сообщение 15
Quote (Гость)
найдите сумму десяти членов арифметической прогрессии,заданной формулой аn=3n+1


а1=3*1+1=4
а10=3*10+1=31
S10= (a1+a10)/2 *10= 5(a1+a10)= 5(4+31)=175
Гость
18.11.2011, 22:39, Пятница | Сообщение 16
В арифметической прогрессии (yn) известны пятый и шестой члены: y5= - 150 и у6= - 147. Найти количество отрицательных членов данной прогрессии.
Gargona Offline Друзья сайта
19.11.2011, 01:48, Суббота | Сообщение 17
Гость, 147/3=49
49+5=54, (5-это первые члены прогрессии)
ответ: В
KoKeTkA Offline Друзья сайта
20.11.2011, 20:38, Воскресенье | Сообщение 18
сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn) в 3 раза больше ее первого члена.найти отношение(bn/bn) помогите решить)

Добавлено (20.11.2011, 19:38)
---------------------------------------------
ой,там не (bn/bn), а b2/b4 опечатка)

Mitiso4ka Offline Студенты
20.11.2011, 20:47, Воскресенье | Сообщение 19
задача с 2008 сборника.
три числа образуют геометрическую прогрессию, если среднее этих чисел разделить на 2, то получится арифметическая прогрессия. найти знаменатель прогрессии
Lonely_MooN2055 Offline Студенты
Сообщений (129) Репутация (175) Награды (1)
21.11.2011, 19:08, Понедельник | Сообщение 20
Quote (KoKeTkA)
сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn) в 3 раза больше ее первого члена.найти отношение(bn/bn) помогите решить)
Lonely_MooN2055 Offline Студенты
Сообщений (129) Репутация (175) Награды (1)
21.11.2011, 19:10, Понедельник | Сообщение 21
вот
Прикрепления: 7890987.jpg(25Kb)
Гость
07.12.2011, 22:50, Среда | Сообщение 22
помогите пожалуйста решить Найти сумму первых восьми членов геометрич.прогрессии если bn = з * 2 в n степени
sunshine_23 Offline Студенты
Сообщений (106) Репутация (47) Награды (1)
09.12.2011, 23:28, Пятница | Сообщение 23
Quote (Гость)
помогите пожалуйста решить Найти сумму первых восьми членов геометрич.прогрессии если bn = з * 2 в n степени

эта прогрессия каждый раз встречается мне)))
Прикрепления: 6542671.jpg(89Kb)
Kanat_ Offline Ученики
14.01.2012, 21:00, Суббота | Сообщение 24
Прикрепления: 9455545.png(644Kb)
KoKeTkA Offline Друзья сайта
20.01.2012, 20:51, Пятница | Сообщение 25
последовательность bn задана реккурентно b1=9 b2=-5 b[sup]n+1=bn+b(n-1)/2
тогда b6 равно...помогите решить...
ДаЭтоЯ Offline Ученики
20.01.2012, 21:22, Пятница | Сообщение 26
Quote (KoKeTkA)
последовательность bn задана реккурентно b1=9 b2=-5 b[sup]n+1=bn+b(n+1)/2

я не поняла запись((
Это с какого тестника?

Найди вначале в3, вместо вн поставь в1, вместо в(н+1) ставь в2. получишь число
теперь вместо вн ставь в2, вместо в(н+1) ставь в3, так найдешь в4....
и т д, пока не найдешь в6
KoKeTkA Offline Друзья сайта
20.01.2012, 21:36, Пятница | Сообщение 27
ДаЭтоЯ, это все из тестника 2008 года...
хорошо сейчас попробую)

Добавлено (20.01.2012, 20:36)
---------------------------------------------
facepalm чет я ничегошеньки не поняла(((....

ДаЭтоЯ Offline Ученики
20.01.2012, 21:40, Пятница | Сообщение 28
еще раз дай задание, лучче скопируй
KoKeTkA Offline Друзья сайта
20.01.2012, 22:02, Пятница | Сообщение 29
b1=9
b2=-5
naiti b6
Прикрепления: 0591382.png(17Kb)
ДаЭтоЯ Offline Ученики
20.01.2012, 22:07, Пятница | Сообщение 30
b3=(-5+9)/2=2
b4=(2+(-5))/2=-1.5
b5=(-1.5+2)/2=0.25
b6=(0.25+(-1.5))/2=-0.625
Форум "Казахстан и образование" » Ученический форум » Математика » Прогрессия. Геометрическая и арифметическая. Сумма n. (Решение задач, а сначала объяснение.)
Страница 1 из 141231314»
Поиск:
Новый ответ
Имя:
Опции сообщения:
Код безопасности: