ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

или в виде:

где f(x), M(x),P(x) - некоторые функции переменной х; g(y), N(y), Q(y) - функции переменной у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х, окажутся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем проинтегрируем обе части полученного равенства. Например, из (8) следует, что dy/g(y)=f(x)dx и . Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (8).

Пример 2. Решить уравнение √y²+1=dxdy

Разделив левую и правую часть уравнения на выражение x√y²+1 (при х≠0), приходим к равенству . Интегрируя, получим , (так как интеграл в левой части табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой √y²+1=t, 2ydy=2tdt и

Решение перепишем в виде ±e^c₁e^√y2+1 или x=Ce^√y2+1, где C=±e^c₁

Пример 3. Решить уравнение y'=y/x

Разделяя переменные, получаем: dy/y=dx/x. Интегрируя имеем или ln|y|=ln|x|+ln|C₁|. Потенцируя, находим |y|=|C₁||x|, что эквивалентно уравнению y=±C₁x. Полагая ±С₁=С, окончательно получаем у=Сх - общее решение данного уравнения, где С - произвольная постоянная, отличная от нуля которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но С≠0. Заметим, что у=0 также решение уравнения (оно было потеряно при делении на у). Это решение можно включить, если считать, что постоянная С принимает и значение С=0.

Пусть требуется выделить из общего решения частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х₀=1, у₀=2. Подставляя эти значения в общее решение вместо х и у, получаем 2=C•1, откуда С=2. Таким образом , искомое частное решение y=2x.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения (xy+y)dx+(xy+x)dy=0

Предположив, что x≠0, y≠0 и разделив обе части данного уравнения на xy получим уравнение с разделенными переменными . Интегрируя его, последовательно находим (произвольную постоянную можно представить в виде ln|C|:

=ln|C|, ⇒ x+ln|x|+y+ln|y|=ln|C|, ⇒ ln|xy|+lne^x+y=ln|C|, ⇒ xye^x+y=C

Последнее равенство является общим интегралом заданного дифференциального уравнения. При его нахождении были приняты ограничения x≠0, y≠0. Однако функции x=0, y=0 также является решениями исходного уравнения ,что легко проверяется; с другой стороны, они получаются из общего интеграла при С=0. Следовательно, x=0, y=0 частные решения исходного уравнения.

Пример 5. Найти частное решение уравнения (1+e^2x)y²y'=e^x, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме: (1+e^2x)y²dy-e^xdx=0. Теперь разделим переменные: y²dy-dx=0 Проинтегрируем последнее уравнение:

dy-

Получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной: dy-

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид dy-.