Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b], а<в. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками: а=х₀<х₁<х₂<…<х_i-1<х_i<х_n=b.

Обозначим это разбиение через τ, a точки x₀, x₁,…,x_n будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [x_i-1,x_i] выберем произвольную точку ξ_i(x_i-1ξ_ix_i). Через Δx_i обозначим разность x_i-x_i-1, которую условимся называть длиной частичного отрезка [x_i-1, x_i].

Образуем сумму:

которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b], соответствующее данному разбиению [a,b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек ξ_i. Геометрический смысл суммы σ очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx₁, Δx₂, … , Δx_n и высотами f(ξ_i), f(ξ₂), … , f(ξ_n) (рис 1) (если f(x)0).

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения τ:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.