Моментом импульса L материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса mv:

где m - масса материальной точки; v – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении.

Вектор L направлен так же, как и вектор угловой скорости ω, т.е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта (рис. 4.4).

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела L_z относительно этой оси (L_z – скалярная величина).

Суммирование производим по всем элементарным массам m_i(имеющим линейную скорость v_i и радиус вращения r_i), на которые разбивается тело. Так как v_i=ωr_i, где ω - угловая скорость вращения тела, а I=∑m_ir_i² - момент инерции тела относительно данной оси, тогда момент импульса тела относительно оси z равен:

В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы L и ω имеют одинаковое направление и тогда:

Продифференцируем выражение (4.2) по времени:

В итое:

Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Выражения (4.2) и (4.3) – еще две формы основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z.

Можно показать, что имеет место векторное равенство:

Из уравнения (4.4) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

Выражение (4.5) представляет собой закон сохранения момента импульса.

Для замкнутой системы тел закон сохранения момента импульса формулируется так: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.