Menu
Понятие абсолютно твердого тела и законы вращательного движения
Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого можно пренебречь в данной задаче и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Инертность тел при вращательном движении характеризует величина, называемая моментом инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:

I=mi•ri2 (3.1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

I=∫r2dm (3.2), где интегрирование производится по всему объему.

Для однородного сплошного диска (цилиндра):

I=0.5•mR2 (3.3), если ось вращения проходит через центр тяжести (масс).

Стержня:

I=mR2

Шара:

I=mR2

Момент инерции относительно произвольной оси определяется теоремой Штейнера:

I=Ic+ma2 (3.4), где a - расстояние между осями.

Способность силы вращать тело характеризует физическая величина, называемая моментом силы:

(3.5)

О – ось вращения
l – плечо силы
α – угол между вектором F и радиус-вектором r

Модуль момента силы: M=F•r•sinα=F•l (3.6)

r•sinα - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Моментом силы называется физическая величина, определяемая произведением силы на ее плечо.

По аналогии с поступательным движением можно записать уравнение динамики вращательного движения:

M=Iε (3.7)

Аналогом импульса тела при вращательном движении является момент импульса относительно оси. Векторная величина.

Модуль момента импульса:

(3.8)

L=r•P•sinα=m•υ•r•sinα=Pl (3.9)
Lz=I•ω (3.10)

(3.12)

dLz/dt=Mz (3.13)

Это выражение еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство:

dL/dt=M (3.14)

В замкнутой системе момент внешних сил M=0; dL/dt=0, откуда L=const (3.15) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Работа при вращательном движении:

dA=Mzdφ (3.16)

Кинетическая энергия:

T=Iω2/2 (3.17)

Полная энергия система перемещающейся поступательно и вращающейся равна:

E=[mυ2]+[Iω2/2] (3.18)

Можно составить таблицу аналогично динамики поступательного и вращательного движения.


Поступательное движениеВращательное движение

Масса m

Скорость

Ускорение

Сила F

Импульс P=mυ

Основное уравнение динамики F=ma

Работа dA=Frdr

Кинетическая энергия mυ2

Закон сохранения импульса Pi=const

Момент инерции I
Угловая скорость
Угловое ускорение
Момент силы M
Момент импульса L=Iω
Основное уравнение динамики M=Iε
Работа dA=Mz
Кинетическая энергия Iω2/2
Закон сохранения момента импульса Li=const

Имя *:
Email: