y=B·cos(ωt+α) (22)
где α - разность фаз складываемых колебаний, A и B - амплитуды колебаний.
Выражения (22) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (22) параметр . Из первого уравнения следует, что:
следовательно,
Теперь развернем косинус во втором уравнении из (22) по формуле для косинуса суммы (y/B=cos(ωt)·cosα-sin(ωt)·sinα) и подставим в него вместо cos(ωt) и sin(ωt) их значения (23) и (24). В результате получим:
Перенесем все члены без корня в левую часть уравнения и возведем его в квадрат. После несложных преобразований получим уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей:
Ориентация эллипса и величина полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд A и B и разности фаз α.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Разность фаз α=0.
В этом случае уравнение (25) примет вид [(x/A)-(y/B)]2=0, откуда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим с частотой ω и амплитудой √(A2+B2) (рис 8).
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/58475371.png)
Рис. 8
2. Разность фаз α=±π. В этом случае уравнение (25) примет вид [(x/A)+(y/B)]2=0, откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис.9):
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/09141812.png)
Рис. 9
3. Разность фаз α=±π/2.
Уравнение (25) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис.10):
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/66201724.png)
Рис. 10
При равенстве амплитуд A и B эллипс вырождается в окружность. Случаи α=+π/2 и α=-π/2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности.
Если α=+π/2, уравнения (22) можно записать следующим образом: x=A·cosωt; y=-B·sinωt.
В момент t=0 тело находится в точке 1 (рис 10). В последующие моменты времени, координата x уменьшается, а координата y становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.
Если α=-π/2, уравнения колебаний имеют вид: x=A·cosωt; y=B·sinωt. Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.
Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиусом R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
y=±R·sinωt (29)
(знак «+» в выражении для y соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – по часовой стрелке).
В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Δω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:
y=B·cos[ωt+(Δω+α)],
где выражение (Δω+α) рассматривается как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.
Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до π.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
На рис.11 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз π/2. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.
![](http://testent.ucoz.ru/_pu/16/86531086.png)
Рис. 11
Фигуры Лиссажу позволяют найти частоту одного из колебаний, если известна частота другого. Это обусловлено тем, что кратность частот легко находится с помощью секущих, параллельных координатным осям.