1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений;
2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;
3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
Оборудование урока: проектор, слайды, магнитная доска, карточки, тетради, чистые листы для самостоятельной работы, копировальная бумага, таблицы по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии, в) решение простейших тригонометрических уравнений (частные случаи), г) решение квадратного уравнения.
Содержание урока
I. Организационный этап.
Задача: подготовить учащихся к работе на уроке. Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).
II. Этап проверки домашнего задания.
1. Проверка домашнего задания у доски. Три учащихся решают у доски три уравнения: √3tg2x + 1 = 0 2cos (π/3 + 3x)- √3 = 0 3cos2 – sinx – 1 = 0
2. Всему классу представляется устный диктант: вопросы:
- что называется arcsin a?
- чему равен arcsin (-a)?
- чему равен arcos (-a)?
- назовите формулу нахождения корней уравнения вида sinx = a?
- назовите формулу нахождения корней уравнения вида cos x = a
Следить за правильностью ответов, активизировать мыслительную деятельность учащихся, зрительную память. Включается проектор:
а) Вычислите:
1) arcsin (- ½)
2) arcos (- ½)
3) arctg (- 1/ √3)
4) arcsin √2/2
б) Решить уравнения:
1) sin x = 0
2) cos x = -1
3) tg x = 2
4) sin x = 1,5
5) cos x = -2
Проверка работы, выполненной на доске. Каждый учащийся комментирует свой решенный пример. Выясняется, что учащиеся не поняли или не усвоили.
3. Самостоятельная работа через проектор на три варранта (I, II, III группа, 7 мин)
Варианта I
1) 2sinx cosx = 1
2) cos2x – 5 cosx + 1 = 0
Вариант II
1) cos2x – sin 2x = 1
2) 2sin2x – 3sinx – 2 = 0
Вариант III
1) √3tg(6x + 300) +1 = 0
2) 6cos2x – 5sin x – 5 = 0
Три учащихся решают эти уравнения на переносных досках. Взаимопроверка самостоятельной работы.
III. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.
Обращаю внимание на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагаю учащимся назвать те уравнения, которые они знают, каким способом можно решить.
cos (4x – 2) = ½
cos2x – 2cos x = 0
cos2x – sin2x = 1
3sin2x – 5sin x – 2 = 0
2sin x – 3cos x = 0
(tgx- √3)(2sin x/2 + 1) = 0
3sin2x – 4sinx cos x + cos2x = 0
Учащиеся внимательно смотрят на магнитную доску. Затем поднимают руку, называют уравнение и говорят, как они его решают. После сказанного, если нет замечаний, карточка с записью названного уравнения убирается с магнитной доски. В результате на доске остаются карточки с уравнениями: 2sin x – 3cos x = 0
3sin2x – 4sinx cos x + cos2x = 0
IV. Этап усвоения новых знаний.
Зачади: дать учащимся понятие однородных уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.
Называю вид уравнений, оставшихся на магнитной доске и предлагаю записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений». Включаю проектор, через него проектируется на экран определение однородных тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0. Решается уравнение 2sin x – 3cos x = 0, подробно объясняется ход действия.
2sin x – 3cos x = 0 cos x ≠ 0
2sin x / cos x – 3cos x / cosx = 0/cos x → 2tg x = 3 tg x = 3/2
Ответ: arctg 3/2 + πn, n є Z.
При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.
Записываю на доске следующее уравнение: 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0. И с помощью вопросов подключаю учащихся к активной работе. Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Это уравнение однородное 2-ой степени. Проверяем если в этом уравнении одночлен аsin2x, если есть, то делим уравнение на cos2x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0).
2) asin2x + bsinx cosx + c cos2x = 0 где а 0, b 0, с 0.
Предлагаю учащимся по желанию решить у доски это уравнение.
3sin2 x – 4sin x cos x + cos2 x = 0 | : cos2 x 0
3sin2x _ 4sinx cosx + cos2x = 0
cos2x cos2x cos2x cos2x
3tg2 x – 4tg x +1 = 0. Пусть tg x = t
3tg2 – 4t +1 =0
t1,2 =
Ответ: + ; arctg +
3.) Если в однородном уравнении второй степени а = 0 :
b sin x cos x + c cos2 x = 0 (т.е. в уравнении нет одночлена a sin2 x), то уравнение решается путем разложения на множители.
b sin x cos x + c cos2 x = 0
cos x(b sin x + c cos x) = 0
cos x = 0 или b sin x + c cos x = 0 | : cos x 0, x +
x= + или b tg x + c = 0
tg x = -
x = -arctg +
x = arctg +
Ответ: + ,
V Этап проверки понимания учащимися нового материала.
Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида уравнений.
Включается проектор, на экране уравнения.
Определите вид уравнения и укажите способ его решения
а) sin x = 2 cos x г) 1+ 7cos2 x + 3 sin2x =0
б) sin x + cos x = 0 д) sin 3x – cos 3x = 0
в) 4cos 3x + 5 sin 3x =0 е) sin x cos x + cos2 x = 0
Учащиеся включаются в работу. Называют вид уравнения и объясняют, как его можно решить.
VI этап закрепление нового материала
Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.
Предлагаю учащимся решить на доске уравнения:
а) sin 3x – cos 3x =0
- = 0
tg3x =1
tg3x =
3x =
x= +
Ответ: +
б) 2sin x + cosx = 2
Уравнение решается с объяснением.
2 2sin cos + cos2 - sin2 = 2 sin2 +2 cos2
4sin cos - cos2 - 3sin2 = 0 | : cos2 0
4 tg - 1 -3tg2 =0
3tg2 - 4 tg +1 =0 tg = t
3t2 – 4t + 1 = 0
Д = 16 - 12 =4 t1,2 =
Ответ: x=2arctg
VII Этап информации учащихся о домашнем задании
Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.
Еще раз повторяем способы решения однородных тригонометрических уравнений.
1. Упр №361(в,г) №362(в,г) выполнить всем
2. Упр № 379(а), 380 (б), 381(б) учащимся I и II групп
3. Подготовить сообщение об истории развития тригонометрии (2 уч-ся I группы)
4. Прикладная направленность тригонометрии (подготовить задачи геометрические и физические и решить их) III группа, 2 уч-ся
VIII этап всесторонней проверки знаний
Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
Учащимся предлагается выполнить письменную работу на 6 минут.
Самостоятельная работа на 6 минут.
Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку.
Вариант I Вариант II Вариант III
cos2x +sin 2x =0 1+7cos2x = 3 sin2x 4sin2 - 3 =2sin cos
По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся.
Проверка самостоятельной работы (3 мин) проводится взаимопроверкой.
Через проектор на экран выводятся решения тригонометрических уравнений. Учащиеся цветной ручкой проверяют письменные работы своего соседа и записывают фамилию проверяющего. Затем сдают листочки.
IX Подведение итога урока.
Задача: систематизировать и обобщить знания учащихся по решению однородных тригонометрических уравнений.
1) Вопросы:
- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
- Какой вид имеют однородные уравнения первой степени, второй степени?
- Как решаются эти уравнения?
- Как решаются однородные уравнения второй степени, если в нем нет одночлена sin2x?
2) Затем отмечается хорошая работа одних, недостаточная работа (активность) других учащихся, выставляются оценки за работу у оски, за устные ответы.
После урока проверяются листочки, на которых решались уравнения, и листочки, на которых проверялись решения однородных уравнений и делаются соответствующие выводы.
