Menu
Биения
Особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биением.

Пусть частота одного колебания ω1=ω, а частота второго колебания ω2=ω+Δω, причем, Δω<<ω. Амплитуды обоих колебаний полагаем одинаковыми и равными A. Для упрощения расчетов полагаем начальные фазы колебаний равными нулю. Тогда уравнения складываемых колебаний будут иметь следующий вид:

x1=A·cosωt
x2=A·cos(ω+Δω)t

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов:

(cosα+cosβ=2cos((α-β)/2))cos((α+β)/2)), получаем x=x1+x2=(2Acos(Δω/2)t)cosωt (19)

(во втором множителе пренебрегли членом Δω/2 по сравнению с ω).

Заключенный в скобки множитель в формуле (19) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель, так как Δω<<ω. Это дает нам основание рассматривать колебание (19) как гармоническое колебание частоты ω, амплитуда которого изменяется по некоторому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется от -2A до 2A, в то время, как амплитуда по определению – величина положительная. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид:

Aбиений=|2Acos(Δω/2)t| (20)

Функция (20) – периодическая функция с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой Δω. Заменяя в выражении (19) амплитуду через значение (20), получаем уравнение биений:

x=|2Acos(Δω/2)t|cosωt (21)
Имя *:
Email: