Menu
Момент инерции
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отдельные точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Основы кинематики вращательного движения были изложены в разделе 1.5.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента инерции.

Моментом инерции I материальной точки называется скалярная физическая величина, определяемая произведением ее массы mна квадрат радиуса окружности R, по которой она может двигаться относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО‛ (рис.4.1,а):

I=mR2


Рис.4.1. К определению понятия момента инерции

Если твердое тело, вращающееся относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО', представить в виде системы материальных точек массой dm и просуммировать моменты инерции этих так называемых элементарных масс, то получим момент инерции всего тела:

I=Ii=dmiri2=r2dm,

где ri – радиус вращения i–й элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 4.1,б).

Для однородных тел, для которых плотность ρ=m/V (где m – масса тела, а V – его объем, т.е. плотность определяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формул:

I=∫r2dm=∫r2pdV=p∫r2dv, т.е. I=ρr2dV.

Ниже приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел правильной формы с массой m относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Таблица 2

Моменты инерции тел правильной формы

Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R
Ось симметрии
mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R
Ось симметрии
0.5*mR2
Прямой тонкий стержень длиной l
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
1/12*ml2
Шар радиусом R
Ось проходит через центр шара
2/5*mR2

Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси используется теорема Штейнера.

Теорема Штейнера: если известен момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его Io), то момент инерции тела относительно любой параллельной ей оси ZZ' (обозначим его I) равен:

I=Io+md2,

где m – масса тела; d – расстояние между осями (рис.4.2).


Рис.4.2. К теореме Штейнера
Имя *:
Email: