Menu
Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0)D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0.

Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума). Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N0(x0;y0) значения A=f'x'x(x0;y0), B=f'x'y(x0;y0), C=f'y'y(x0;y0)Обозначим . Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0.
2. Если Δ<0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) экстремума не имеет.
3. В случае Δ=0 экстремум в точке N0(x0;y0) может быть, может не быть. Необходимо дополнительные исследования.

Пример 1. Найти экстремум функции z=3x2y-x3-y4

Имеем z'x=6xy-3x2, z'y=3x2-4y3. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

отсюда получаем точки M1(6;3) и M2(0;0).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
z'x'x=6y-6x, z'x'y=6x, z'y'y=-12y2

В точке M1(6;3) имеем: A=-18, B=36, C=-108 отсюда
AC-B2=-18•(-108)•-362=648, т.е. Δ>0

Так как A<0, то в точке M1(6;3) функция имеет локальный максимум: zmax=z(6;3)-3•36•3-63-34=27.

В точке M2(0;0): A=0, B=0, C=0 и значит, Δ=0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M2 равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-y4<0 при x=0, y≠0: z=-x3>0 при x≠0, y=0. Значит, в окрестности точки M2(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M2 функция экстремума не имеет.

Vika182010   04.10.2013 10:49
помогите пожалуйста найти экстремум функции y=3x^2+3xy+3y^2+6x+3y+1
said   16.01.2013 04:34
Есть вариант решить ? найти экстремум функции двух переменных z=3x^3+3y^3-9xy+10 срочно нужно
Мария   21.03.2012 02:22
Здравствуйте! Помогите,пожалуйста,найти экстремумы функции двух переменных
z=6x^2y+y^3-24x-30y.
Заранее большое спасибо!
Татьяна   14.03.2012 20:44
Здравствуйте, помогите пожалуйста Найти наклонную асимптоту графика ƒ(х) =(2х^2+3)/(х-1) .
Дарья   17.12.2011 19:26
Здравствуйте, помогите найти условный экстремум z=5x^y , при 10x-5y=1 .Я дошла до смешанной производной,не могу посчитать.
Марина   28.10.2011 00:00
Помогите пожалуйста найти экстремумы функции в заданой области D:

z=x^2+3*y^2+x-y

D:
x>=1;
y>=-1;
x+y<=1
Teufel   08.10.2011 22:25
определить вектор c=[ a,b] , где a=(0,-2,1) , b=(-1,2,3) построить вектор c в декар.системе коорд.
Мурат   14.06.2011 14:36
min z(-1, 2)= -8
алена   14.06.2011 13:35
z=x^2+2xy-2x+2y^2-6y-3
Ника   27.05.2011 17:03
Здравствуйте помогите пожалуйста найти локальный экстремум функции z=x^2+y^2+xy-4x-5y-1
Ответ: z'(x,y)=2x+y^2+y-4-5y+x^2+2y+x-4x-5=y^2+x^2+4x-2y-9 (Кажется так)
Татьяна   23.05.2011 18:41
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, исследовать функцию на экстремум
у=(1/3)*(x^3+x^2-7*x-7)
Надежда   25.04.2011 22:44
wacko Помогите пожалуйста Найти экстремум функции:
z=y^2-x^2+xy-2x-6y
Мария   25.04.2011 20:01
Здравствуйте,помогите пожалуйста исследовать функцию f=4x^2 +y^2 +7xy+6y+2x на экстремум

производную частных производных я нашла
f``x=8x+7y+2
f``y=2y+7x+6
,дальше я не знаю как найти систему..помогите очень нужно cry

наталья   06.03.2011 19:25
Помогите!ОН меня с ума сведёт

z=8in(x^2+y^2)-6x^2y^3+8x-1

Вика   25.02.2011 15:04
Помогите пожалуйста Найти экстремум функции:
z=x^2-xy+y^2-2x+y
Ответ: z''=2x-y+y^2-3-2+y+x^2-y+2y-2x+1
Олег   03.02.2011 23:57
Помогите пожалуйста.
z= x^2+y^2+xy-4x-5y
Ответ: Z'xy= 2x+2y+1-4-5 =2x+2y-8
Ирина   09.01.2011 14:48
Доброе время суток! Помогите пожалуйста в решении контрольной. Нужно найти экстремумы функций двух переменных
Z=6*x^2*y+2*y^3-24*x-30*y
Ответ: Ирина, Z'xy = 18x+6y^2-24-30 = 6y^2+18x-54
Имя *:
Email: