Пусть функция Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) Придадим переменной x в точке M произвольное приращение Δx, оставляя значение переменной y неизменным. Тогда соответствующее приращение функции Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y) называется частным приращением функции по переменной x в точке M(x,y). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y: Δ_yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если существует предел , то он называется частной производной функции Z=f(M) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Пример 3. Найти частные производные функции Z=x²-2xy²+y³

Частную производную находим как производную функции Z=f(x,y) по аргументу х в предположении, что y=const. Поэтому

=(x²-2xy²+y³)'_x=2x-2y²+0=2(x-y²)

Аналогично, =(x²-2xy²+y³)'_y=0-4xy+3y²=y(3y+4x)

Пример 4. . Найти ,

Рассматривая y как постоянную величину, получим:

Рассматривая x как постоянную величину, находим:

Пример 5. z=xe^-xy. Найти ,

=(xe^-xy)'_x=e^-xy-xye^-xy=e^-xy(1-xy)

=(xe^-xy)'_y=-x²e^-xy

Пример 6. . Найти ,