Принцип относительности устанавливает, что все законы природы инвариантны относительно преобразований координат от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Однако законы Ньютона не инвариантны относительно преобразований Лоренца. Так, второй закон Ньютона в системе O имеет вид:

Аналогичный вид он должен иметь и в системе O':

Попробуем получить это с помощью преобразований Лоренца:

Отсюда следует, что при преобразованиях координат должна преобразовываться и масса тела. Закон преобразования массы имеет вид:

Необходимо отметить, что при этом преобразуются и силы, но это выходит за рамки нашего курса.

В этом случае, выражение для импульса материальной точки будет иметь вид:

При этом инвариантная форма записи второго закона Ньютона имеет вид:

Найдем релятивистское выражение для энергии. Для этого левую и правую части инвариантной формы второго закона Ньютона умножим на величину V · dt:

Но выражение F·V·dt=dA, т.е. работа, совершенная над телом за время dt. Работа должна быть равна изменению энергии:

Вспомним, что величина v векторная. С учетом этого, выражение для изменения энергии примет вид:

Произведя дальнейшие преобразования, получим:

Либо, E=E₀/√(1-β²), где E₀=m₀·c² - энергия покоя.

В этом случае кинетическая энергия T тела будет равна:

При малых скоростях, V << c, выражение для кинетической энергии примет вид:

Т.е. при малых скоростях получили привычное выражение для кинетической энергии.

Получим теперь выражение для полной энергии через импульс. Итак, E=m₀·c²/√(1-v²/c²). Возведем это выражение в квадрат:

Аналогично, возведем в квадрат выражение для импульса:

Подставим сюда полученное выражение для квадрата скорости v²:

Преобразовывая далее, получим: