Menu
Понятие о релятивистской динамике
Принцип относительности устанавливает, что все законы природы инвариантны относительно преобразований координат от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Однако законы Ньютона не инвариантны относительно преобразований Лоренца. Так, второй закон Ньютона в системе O имеет вид:

m·dux/dt = Fx

Аналогичный вид он должен иметь и в системе O':

m·du'x/dt = F'x

Попробуем получить это с помощью преобразований Лоренца:

Отсюда следует, что при преобразованиях координат должна преобразовываться и масса тела. Закон преобразования массы имеет вид:

m=m0/√(1-β2)

Необходимо отметить, что при этом преобразуются и силы, но это выходит за рамки нашего курса.

В этом случае, выражение для импульса материальной точки будет иметь вид:

P=m0 · V / √(1-β2)

При этом инвариантная форма записи второго закона Ньютона имеет вид:

dP/dt = F или (d/dt) · m0 · V / √(1-β2) = F

Найдем релятивистское выражение для энергии. Для этого левую и правую части инвариантной формы второго закона Ньютона умножим на величину V · dt:

V·dt·d/dt · [m0 · V / √(1-β2)] = F·V·dt

Но выражение F·V·dt=dA, т.е. работа, совершенная над телом за время dt. Работа должна быть равна изменению энергии:

F·V·dt=dA=dE или dE = V·dt·d/dt · [m0 · V / √(1-β2)] = V·d[m0 · V / √(1-β2)]

Вспомним, что величина v векторная. С учетом этого, выражение для изменения энергии примет вид:

Произведя дальнейшие преобразования, получим:

dE=d·m0·c2/√(1-v2/c2) → E=m·c2 (1.64)

Либо, E=E0/√(1-β2), где E0=m0·c2 - энергия покоя.

В этом случае кинетическая энергия T тела будет равна:

T=E-E0

При малых скоростях, V << c, выражение для кинетической энергии примет вид:

Т.е. при малых скоростях получили привычное выражение для кинетической энергии.

Получим теперь выражение для полной энергии через импульс. Итак, E=m0·c2/√(1-v2/c2). Возведем это выражение в квадрат:

E2=m02·c4/(1-v2/c2) → v2/c2=1-(m02·c4/E2) → v2=c2-(m02·c6/E2)

Аналогично, возведем в квадрат выражение для импульса:

P2=m02·v2/(1-v2/c2)

Подставим сюда полученное выражение для квадрата скорости v2:

Преобразовывая далее, получим:

P2·m02·c4=E2·m02·c2-m04·c6 → E2=P2·c2+m02·c4

E=c·√(P2·c2·m02) (1.65)

Имя *:
Email: